Réponse:
1.
a. Pour développer l'expression \((x+\frac{1}{x})^2\), on utilise la formule du carré d'une somme:
\((x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\)
b. Pour déterminer la nature de \(x^2 + \frac{1}{x^2}\), on utilise l'équation donnée: \(x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}\). En élevant au carré de part et d'autre, on obtient:
\((x+\frac{1}{x})^2 = 5\)
En utilisant le résultat de la question a, on a \(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5\). Donc, \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2 = 3\).
Ainsi, \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 3\).
2.
a. Pour montrer que \((a+2b)^2-(a-2b)^2 = 8ab\), on développe chaque expression:
\((a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2\)
\((a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2\)
En soustrayant la deuxième expression de la première, on obtient:
\((a+2b)^2-(a-2b)^2 = (a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^ 2 - 4ab + 4b^2) = 8ab\)
b. En utilisant le résultat de la question précédente, on peut écrire 48 sous la forme d'une différence de carrés de nombres entiers. On a \(48 = 8 \times 6\), donc \(8ab = 8 \times 6 = 48\). Ainsi, une expression possible est \((a+2b)^2-(a-2b)^2\) avec \(a = 3\) et \(b = 6\), et une autre expression possible est \((a+2b)^2-(a-2b)^2\) avec \(a = 6\) et \(b = 3\).
Explications étape par étape:
j'espère que ça va t'aider
