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Explications étape par étape:
Pour étudier le sens de variation de chaque suite \( (u_n) \), examinons le comportement de \( u_{n+1} - u_n \) dans chaque cas :
a) \( u_n = \frac{3n - 2}{n + 1} \)
\( u_{n+1} - u_n = \frac{3(n+1) - 2}{(n+1) + 1} - \frac{3n - 2}{n + 1} = \frac{3}{n+2} > 0 \) lorsque \( n \geq 1 \), donc la suite est strictement croissante à partir de \( n = 1 \).
b) \( u_n = -2(n+1)^2 \)
\( u_{n+1} - u_n = -2[(n+1+1)^2 - (n+1)^2] = -2[2(2n+1)] = -4(2n+1) < 0 \) pour tout \( n \geq 0 \), donc la suite est strictement décroissante.
c) \( u_n = \frac{2^{3n}}{3^{2n}} \)
\( u_{n+1} - u_n = \frac{2^{3(n+1)}}{3^{2(n+1)}} - \frac{2^{3n}}{3^{2n}} = \frac{2^{3n} \cdot 2^3}{3^{2n} \cdot 3^2} - \frac{2^{3n}}{3^{2n}} = \frac{8 \cdot 2^{3n}}{9 \cdot 3^{2n}} - \frac{2^{3n}}{3^{2n}} = \frac{8}{9}\left(\frac{2^{3n}}{3^{2n}}\right) - \left(\frac{2^{3n}}{3^{2n}}\right) = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9} < 0 \), donc la suite est strictement décroissante.
d) \( u_n = \frac{2^n}{n+1} \)
\( u_{n+1} - u_n = \frac{2^{n+1}}{(n+1)+1} - \frac{2^n}{n+1} = \frac{2 \cdot 2^n}{n+2} - \frac{2^n}{n+1} = \frac{2^n}{n+2}\left(2 - \frac{n+2}{n+1}\right) = \frac{2^n}{n+2}\left(\frac{2n+2-n-2}{n+1}\right) = \frac{2^n}{n+2}\left(\frac{n}{n+1}\right) > 0 \) pour tout \( n \geq 0 \), donc la suite est strictement croissante.
e) \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = u_n - n \)
\( u_{n+1
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