Réponse :
1)
Pour montrer que la fonction puissance P est définie par P(R) = 144R*(R+4,5)² / (R+4,5)², on remplace E et r par leur valeur respective dans la formule donnée :
P = RE² / (R+r)²
P = 12R² / (R+4,5)²
P = 144R(R+4,5)² / (R+4,5)²
P = 144R
Donc, la fonction puissance P est bien définie sur l'intervalle [1; 10] par P(R) = 144R*(R+4,5)² / (R+4,5)².
2)
a) En représentant graphiquement la fonction P sur une calculatrice, on peut observer que la puissance semble augmenter de manière croissante jusqu'à un maximum et ensuite décroître.
b) La puissance semble atteindre son maximum pour R = 4,5 ohm et la valeur maximale de la puissance est P(4,5) = 262,44 watts.
3)
a) Pour démontrer que P'(R) = [144(4,5-R)] / (R+4,5)³, on dérive la fonction P(R) par rapport à R :
P'(R) = d/dR (144R*(R+4,5)² / (R+4,5)²)
P'(R) = 144(R+4,5)² - 144R*2(R+4,5) / (R+4,5)²
P'(R) = 144(4,5 - R) / (R+4,5)³
Ensuite, on détermine le signe de P'(R) avec 1 ≤ R ≤ 10. On remarque que P'(R) est positif si 4,5 - R est positif, c'est-à-dire si R < 4,5. Donc, la puissance augmente pour 1 ≤ R < 4,5 puis décroît pour 4,5 < R ≤ 10.
b) En dressant le tableau de variations de P sur [1; 10], on retrouve que la puissance maximale du circuit est de 262,44 watts et elle est atteinte pour R = 4,5 ohm.
et voila
Explications étape par étape :
