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résolu

Devoir Maison 7
Exercice 1: Pavé dans un cube
ABCDEFGH est un cube de côté 6 cm. M et
N sont les points des arêtes [AD] et [AB]
tels que AM AN= x (en cm).
P est le point de l'arête [EA] tel que EP= x
(en cm).
On note V (x) le volume en cm' du pavé
droit en gris sur la figure, en fonction de la
longueur x.
1) Quel est l'ensemble de définition Dy de la fonction V ? Justifier.
2) Démontrer que V (x) = 6x²-x'.
3) Calculer le volume du pavé droit grisé pour x = 2.
Exercice 2: Maison d'édition
Une maison d'édition veut publier un manuel de mathématiques. Les frais de création
s'élèvent à 30 000 € et l'impression de chaque livre coûte ensuite 3,5 €.
1) Déterminer le coût de production C(n) de n livres.
2) Chaque livre est vendu 6,5 €. Calculer la recette R(n) pour n livres vendus.
3) Représenter graphiquement dans un même repère les fonctions C et R associées
sur l'intervalle [0; 16 000].
4) Combien de livres la maison d'édition doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice?
5) Après une étude de marché plus approfondie, la maison d'édition souhaite
commencer à réaliser des bénéfices à partir de 4 000 livres vendus. A quel prix doit-
elle alors vendre chaque livre ?
On trace ci-dessous la courbe de la fonction V :
4) Pour quelle valeur de x, le volume du pavé gris est-il maximal ? Quel est alors ce
volume maximal?

Devoir Maison 7 Exercice 1 Pavé Dans Un Cube ABCDEFGH Est Un Cube De Côté 6 Cm M Et N Sont Les Points Des Arêtes AD Et AB Tels Que AM AN X En Cm P Est Le Point class=

Répondre :

MERIEM202EN

Réponse:

Exercice 1:

1) L'ensemble de définition de la fonction V est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles le pavé droit existe et a un volume positif. Dans le cas du cube ABCDEFGH de côté 6 cm, le segment [AM] ou [AN] ne peut pas avoir une longueur supérieure à 6 cm, sinon le point M ou N serait en dehors du cube. De même, EP=x ne peut pas être plus long que EA=6 cm. Ainsi, l'ensemble de définition de la fonction V est l'intervalle [0, 6].

2) Pour démontrer que V(x) = 6x² - x', on peut utiliser les propriétés des pavés droits. Le volume d'un pavé droit est donné par V = L x l x h, où L, l et h sont les longueurs, largeurs et hauteurs du pavé respectivement. Dans notre cas, le pavé droit en gris a pour longueur x, largeur 6-x et hauteur 6-x. Ainsi, V(x) = x(6-x)(6-x) = 6x² - x'.

3) En remplaçant x par 2 dans l'expression de V(x), on obtient V(2) = 6(2)² - 2' = 24 cm³.

Exercice 2:

1) Le coût de production de n livres est donné par C(n) = 30 000 + 3,5n.

2) La recette pour la vente de n livres est donnée par R(n) = 6,5n.

3) Pour représenter graphiquement les fonctions C et R sur l'intervalle [0; 16 000], on trace les droites C(n) et R(n) passant respectivement par les points (0, 30 000) et (0,0) pour C, et (0, 0) et (16 000, 104 000) pour R.

4) Pour réaliser un bénéfice, la maison d'édition doit vendre plus de n livres que le coût total de production, donc n > 30 000 / 3,5 = 8 571,43 livres. Donc, elle doit vendre au moins 8 572 livres pour réaliser un bénéfice.

5) Pour réaliser des bénéfices à partir de 4 000 livres vendus, le prix de vente doit être supérieur au coût de production. Donc, le prix de vente doit être supérieur à C(4 000) / 4 000 = (30 000 + 3,5*4 000) / 4 000 = 7,125 € par livre. La maison d'édition doit alors vendre chaque livre à un prix supérieur à 7,125 € pour réaliser un bénéfice.

Pour l'exercice 2, il semble qu'il manque la courbe de la fonction V mentionnée dans la question. Si vous souhaitez résoudre cette partie, vous pouvez la fournir pour que je puisse vous aider à répondre à la question.

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