Répondre :
**Exercice 1:**
[tex]soient \\\a\) et \(b\) deux réels positifs tels que \(1 < a < b\). Nous allons comparer les nombres \(A = a^2 + 1\) et \(B = ab + 2\).[/tex]
[tex]Pour comparer \(A\) et \(B\), commençons par observer que :\[ A - B = (a^2 + 1) - (ab + 2) = a^2 - ab - 1 \]\\[/tex]
[tex]Comme \(a < b\), nous pouvons affirmer que \(a^2 < ab\). Ainsi :\[ A - B = a^2 - ab - 1 < 0 \][/tex]
Donc, A < B.
**Exercice 2:**
Soient a et b deux réels strictement positifs. Nous devons montrer que :
[tex]\[ \frac{7a + 2b}{7a} \geq \frac{8b}{7a + 2b} \][/tex]
[tex]Pour simplifier l'expression, multiplions chaque terme par \(7a(7a + 2b)\) (un nombre positif puisque \(a\) et \(b\) sont positifs) :\[ (7a + 2b)(7a + 2b) \geq 8b \cdot 7a \][/tex]
En développant le côté gauche de l'inégalité, nous obtenons :
[tex]\[ 49a^2 + 28ab + 4b^2 \geq 56ab \][/tex]
En réorganisant les termes, nous obtenons :
[tex]\[ 49a^2 + 4b^2 \geq 28ab \][/tex]
Comme a et b sont tous deux positifs, nous pouvons diviser chaque terme par [tex]a^2[/tex]
[tex]\[ 49 + \frac{4b^2}{a^2} \geq 28 \frac{b}{a} \]\\[/tex]
Nous remarquons que[tex]\(\frac{4b^2}{a^2} = \left(\frac{2b}{a}\right)^2\),\\[/tex] ainsi, nous obtenons :
[tex]\[ 49 + \left(\frac{2b}{a}\right)^2 \geq 28 \frac{b}{a} \][/tex][tex]\(\frac{4b^2}{a^2} = \left(\frac{2b}{a}\right)^2\),\\[/tex]
En ajoutant \(\frac{28b}{a}\) de chaque côté, nous obtenons :
[tex]\[ 49 + \left(\frac{2b}{a}\right)^2 + 28 \frac{b}{a} \geq 56 \frac{b}{a} \][/tex]
Ceci est équivalent à :
[tex]\[ \left(7 + \frac{2b}{a}\right)^2 \geq 56 \frac{b}{a} \][/tex]
Puisque a et b sont positifs, l'expression [tex]\(7 + \frac{2b}{a}\[/tex] est également positive, donc en prenant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons :
[tex]\[ 7 + \frac{2b}{a} \geq \sqrt{56 \frac{b}{a}} \]\[ 7 + \frac{2b}{a} \geq 2\sqrt{14} \sqrt{\frac{b}{a}} \]\[ 7 + \frac{2b}{a} \geq 2\sqrt{14} \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \]\[ 7 + \frac{2b}{a} \geq 2\sqrt{14} \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \]\[ 7 + \frac{2b}{a} \geq 2\sqrt{14} \frac{b}{a} \]\[ \frac{7a + 2b}{7a} \geq \frac{8b}{7a + 2b} \][/tex]
Donc, l'inégalité est prouvée.
**Exercice 3:**
Soient a et b deux réels non nuls de même signe. Nous devons montrer que :
[tex]\[ (a + b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4 \][/tex]
En développant le côté gauche de l'inégalité, nous obtenons :
[tex]\[ (a + b) \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = a \left(\frac{1}{a}\right) + a \left(\frac{1}{b}\right) + b \left(\frac{1}{a}\right) + b \left(\frac{1}{b}\right) \]\[ = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 \]\\[/tex]
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