Bonsoir,
Soit [tex]C_{totale}[/tex] la fonction qui comptabilise la totalité des coûts de l'entreprise pour [tex]q[/tex] tonne(s) de pâte à papier produite chaque jour.
On a alors :
[tex]C_{totale}(q)=C_{F}+C_{V}(q)[/tex]
soit :
[tex]C_{totale}(q)=650+200+150+q^{2}+632q\\\\\boxed{C_{totale}(q)=q^{2}+632q+1\ 000}[/tex]
Il est dit que l'activité de l'entreprise est à l'équilibre lorsque celle-ci produit quotidiennement [tex]q=20[/tex] tonnes de pâte à papier.
Cela signifie qu'elle ne gagne ni d'argent ni n'en perd.
Les coûts correspondant valent :
[tex]C_{totale}(20)=20^{2}+632\times 20 +1\ 000=14 \ 040[/tex] euros
Soit [tex]R[/tex] la fonction qui donne la recette journalière de l'entreprise pour [tex]q[/tex] tonne(s) de pâte réalisée.
On sait que cette fonction s'exprimera sous la forme : [tex]R(q)=A\times q[/tex] où [tex]A[/tex] est une constante réelle à déterminer.
Pour [tex]q=20[/tex], on est à l'équilibre.
Cela signifie que :
[tex]\boxed{C_{totale}(20)=R(20)}[/tex]
soit :
[tex]A\times 20=14 \ 040[/tex]
[tex]A=702[/tex]
Donc :
[tex]\boxed{R(q)=702q}[/tex]
On définit la fonction [tex]B[/tex], qui nous donne le bénéfice journalier réalisé par l'entreprise, pour [tex]q[/tex] tonne(s) de pâte réalisée.
On a alors :
[tex]B(q)=R(q)-C_{totale}[/tex]
soit :
[tex]B(q)=702q-(q^{2}+632q+1 \ 000)\\\\\boxed{B(q)=-q^{2}+70q-1\ 000}[/tex]
Etudions cette fonction, qui est une fonction polynômiale du second degré.
Elle admet pour discriminant :
[tex]\Delta=70^{2}-4\times (-1)\times (-1\ 000)=900[/tex]
Comme [tex]\Delta > 0[/tex], cette fonction admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\dfrac{-70-\sqrt{900} }{-2} =\dfrac{-70-30}{-2} =50\\\\x_{2}=\dfrac{-70+\sqrt{900} }{-2} =\dfrac{-70+30}{-2} =20[/tex]
De plus, la courbe représentative de [tex]B[/tex] est une parabole dont "les branches sont tournées vers le bas".
Cela signifie que la fonction [tex]B[/tex] est positive (ou nulle) entre [tex]q=20[/tex] et [tex]q=50[/tex].
→ Ainsi, la production est rentable pour l'intervalle [tex]]20;50[[/tex], soit entre [tex]20[/tex] et [tex]50[/tex] tonnes de pâte produite au quotidien.
Le bénéfice maximal correspond au sommet de la parabole, ayant pour coordonnées [tex]q_{S}=-\dfrac{70}{-2}=35[/tex] et [tex]B(q_{S})=-35^{2}+70\times 35-1\ 000=225[/tex]
→ Ainsi, le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise est de 225 euros pour 35 tonnes de pâte produit quotidiennement.
En espérant t'avoir aidé.
