Nous sommes en 2099. Tim, un élève de 3ème, monte à bord de son train Hyperloop entre Paris et
Marseille. Alors qu'il s'installe dans son siège, et que le train s'apprête à démarrer, Tim trouve une
revue retraçant l'histoire de ce train qui fait désormais partie du quotidien des Français. Il y lit
l'histoire du visionnaire Elon Musk, qui en 2013 lançait le pari fou de propulser un train à 1000 km/h.
Tim lit alors que dans le journal d'époque datant de 2021, le pari était de faire le trajet Paris-Marseille
en une demi-heure. Pari réussi ?
Pour répondre à cette question, nous allons proposer une modélisation simplifiée du parcours de
Tim dans ce train. La ligne droite d'Hyperloop qui relie Paris à Marseille est longue de 660 km. Le
train ne va pas à la vitesse de 1000 km/h, dite << vitesse de croisière », d'un seul coup: il lui faut une
phase d'accélération qui lui permet d'atteindre cette vitesse. Il vient ensuite une phase principale
où le train va maintenir une vitesse constante de 1000 km/h, puis une phase de ralentissement
en fin de parcours. Pour simplifier, on admet qu'en moyenne sur toute la phase d'accélération,
l'accélération est constante et vaut 5 m.s². En physique, on sait que la variation de la vitesse, quand
l'accélération est constante, est proportionnelle à l'accélération ainsi, dans cette phase, on admet
que la vitesse, à partir de 0 m.s¹, augmente de 5 m.s1 chaque seconde jusqu'à atteindre la vitesse
de croisière.
Dans tout le problème, on exprimera tous les résultats arrondis à l'entier près.
1) Exprimer la vitesse de croisière en m.s-1.
2) a) On appelle v₁(t) la vitesse du train en fonction du temps écoulé (en secondes) depuis le départ,
uniquement pendant la phase d'accélération. Donner sans justifier l'expression de v₁(t).
b) Quelle est la nature de la fonction v1(t)?
c) En combien de temps le train Hyperloop atteint-il la vitesse de croisière ?
3) On admet qu'en phase d'accélération, la distance parcourue est modélisée par une fonction d(t)
telle que(1):