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Réponse:
1) Pour déterminer les coordonnées des points D, E et F en fonction de \(k\), nous pouvons utiliser les coordonnées de A, B et C, puis utiliser la relation \(D = A + k\cdot \overrightarrow{AB}\), \(E = B + k\cdot \overrightarrow{BC}\) et \(F = C + k\cdot \overrightarrow{CA}\).
Les coordonnées de A, B et C sont respectivement (0, 0), (1, 0) et (0, 1) car \(AB\) est l'axe des abscisses et \(AC\) est l'axe des ordonnées.
Pour \(D\), nous avons :
\[ D = (0, 0) + k\cdot (1, 0) = (k, 0) \]
Pour \(E\), nous avons :
\[ E = (1, 0) + k\cdot (0, 1) = (1, k) \]
Pour \(F\), nous avons :
\[ F = (0, 1) + k\cdot (-1, -1) = (-k, 1-k) \]
En particulier, pour montrer que \(E\) a pour coordonnées \((2 - \sqrt{2}k, \sqrt{2}k)\), nous remplaçons \(k\) dans les coordonnées de \(E\):
\[ E = (1, 0) + k\cdot (0, 1) = (1, k) = (1, \sqrt{2}k) \]
Donc, les coordonnées de \(E\) sont \((1, \sqrt{2}k)\). Cependant, le but est de montrer que \(E\) a pour coordonnées \((2 - \sqrt{2}k, \sqrt{2}k)\). Pour cela, nous devons exprimer \(k\) en fonction de la coordonnée \(x\) de \(E\):
\[ x = 1 + k \Rightarrow k = x - 1 \]
En remplaçant \(k\) dans les coordonnées de \(E\), nous obtenons :
\[ E = (1, x) = (1, \sqrt{2}(x-1)) = (2 - \sqrt{2}k, \sqrt{2}k) \]
Cela prouve que les coordonnées de \(E\) sont bien \((2 - \sqrt{2}k, \sqrt{2}k)\).
2) Le produit scalaire \(DE \cdot DF\) est donné par :
\[ DE \cdot DF = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1) \]
où \(D\) a pour coordonnées \((x_1, y_1)\), \(E\) a pour coordonnées \((x_2, y_2)\) et \(F\) a pour coordonnées \((x_3, y_3)\).
En substituant les coordonnées, nous obtenons :
\[ DE \cdot DF = ((2 - \sqrt{2}k) - k)((-k) - k) + (\sqrt{2}k - 0)(1
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