Je peux vous aider à établir le tableau de signes pour chacune des fonctions \( f(x) \), \( g(x) \) et \( h(x) \). Pour ce faire, nous allons déterminer les points où chaque fonction s'annule et analyser le signe de chaque facteur dans chaque intervalle délimité par ces points.
**1. Fonction \( f(x) = (5x-1)(2-x) \) :**
- Les zéros de \( f(x) \) sont \( x = \frac{1}{5} \) et \( x = 2 \).
- Nous examinons le signe de chaque facteur :
- \( 5x - 1 \) : Positif pour \( x > \frac{1}{5} \), négatif pour \( x < \frac{1}{5} \).
- \( 2 - x \) : Positif pour \( x < 2 \), négatif pour \( x > 2 \).
En combinant ces informations, nous pouvons établir le tableau de signes pour \( f(x) \).
**Tableau de signes pour \( f(x) \) :**
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & < \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 2 & > 2 \\
\hline
5x - 1 & - & 0 & + & + \\
2 - x & + & + & 0 & - \\
f(x) & + & 0 & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
**2. Fonction \( g(x) = \left(\frac{x}{3} - \frac{1}{5}\right)(5 - 2x) \) :**
- Les zéros de \( g(x) \) sont \( x = \frac{3}{5} \) et \( x = \frac{5}{2} \).
- Nous examinons le signe de chaque facteur :
- \( \frac{x}{3} - \frac{1}{5} \) : Positif pour \( x > \frac{3}{5} \), négatif pour \( x < \frac{3}{5} \).
- \( 5 - 2x \) : Positif pour \( x < \frac{5}{2} \), négatif pour \( x > \frac{5}{2} \).
En combinant ces informations, nous pouvons établir le tableau de signes pour \( g(x) \).
**Tableau de signes pour \( g(x) \) :**
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & < \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & \frac{5}{2} & > \frac{5}{2} \\
\hline
\frac{x}{3} - \frac{1}{5} & - & 0 & + & + \\
5 - 2x & + & + & 0 & - \\
g(x) & + & 0 & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
**3. Fonction \( h(x) = (9-x)(7x-8) \) :**
- Les zéros de \( h(x) \) sont \( x = 9 \) et \( x = \frac{8}{7} \).
- Nous examinons le signe de chaque facteur :
- \( 9 - x \) : Positif pour \( x < 9 \), négatif pour \( x > 9 \).
- \( 7x - 8 \) : Positif pour \( x > \frac{8}{7} \), négatif pour \( x < \frac{8}{7} \).
En combinant ces informations, nous pouvons établir le tableau de signes pour \( h(x) \).
**Tableau de signes pour \( h(x) \) :**
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & < \frac{8}{7} & \frac{8}{7} & 9 & > 9 \\
\hline
9 - x & - & 0 & + & + \\
7x - 8 & - & + & + & + \\
h(x) & + & 0 & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
J'espère que ces tableaux de signes vous aideront dans votre analyse des fonctions \( f(x) \), \( g(x) \) et \( h(x) \)!
