Réponse :
### Exercice 1 : Étude d'une surface
1.
a. Démontrer que MN = BM:
Comme le quadrilatère MQPN est un rectangle, les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu. Ainsi, MN est un côté du rectangle et BM est la moitié de la diagonale du rectangle, donc MN = BM.
b. Prouver que BM = QC:
Comme le triangle ABC est isocèle en A, BC = AC. Puisque le quadrilatère MQPN est un rectangle, BM = MN et QC = AC - AQ. Comme AC = BC, alors QC = BC - AQ = BM.
2.
a. Pourquoi le réel r appartient-il à l'intervalle [0;4,5] ?
Puisque BM = x et BC = 9, alors x doit être compris entre 0 et 4,5 car BM ne peut pas être plus long que BC.
b. Exprimer les dimensions MQ et MN en fonction de r:
En utilisant le fait que MN = BM = x et MQ = BC - 2x (car MQPN est un rectangle), on a MQ = 9 - 2x.
c. Démontrer que l'aire du rectangle MQPN, notée f(x), s'écrit f(x) = 9x - 2x^2:
L'aire d'un rectangle est donnée par le produit de sa longueur et de sa largeur. Ici, la longueur est 9 - 2x et la largeur est x, donc l'aire f(x) = (9 - 2x) * x = 9x - 2x^2.
3.
Justifier que pour tout réel r € [0;4,5), on a : f(x) - 7 = (1-x)(2x-7):
En développant f(x) - 7 = 9x - 2x^2 - 7 = -2x^2 + 9x - 7, on peut factoriser cette expression en (-2x + 1)(x - 7) = (1-x)(2x-7).
En déduire les positions du point M sur le segment [BI] de sorte que l'aire du quadrilatère MNPQ soit égale à 7:
Pour que l'aire soit égale à 7, on doit avoir f(x) = 7, donc 9x - 2x^2 = 7. En résolvant cette équation, on trouve les valeurs de x qui vérifient cette condition.