Réponse:
Pour déterminer les coordonnées du point M, nous allons utiliser la notion de distance entre deux points et la propriété selon laquelle un point M partage une droite (ici la droite (AB)) en deux parties qui sont en raison inverse de la distance de M à chacun des points A et B.
1. Tout d'abord, trouvons les coordonnées de A et B :
- A(-3 ; 4)
- B(0 ; -4)
2. Calculons la distance AM et la distance BM :
- Longueur AM = √[(x1 - x)^2 + (y1 - y)^2]
- Longueur BM = √[(x2 - x)^2 + (y2 - y)^2]
3. On a la relation suivante selon la condition AM = -5 * BM :
- √[(-3 - x)^2 + (4 - y)^2] = -5 * √[(0 - x)^2 + (-4 - y)^2]
4. Élevons les deux côtés de l'équation au carré pour se débarrasser des racines carrées :
- (-3 - x)^2 + (4 - y)^2 = 25 * [(0 - x)^2 + (-4 - y)^2]
5. Développons et simplifions l'équation :
- 9 + 6x + x^2 + 16 - 8y + y^2 = 25 * (x^2 + 16 - 8x + y^2)
- Simplifiant, nous obtenons :
- 25x^2 + 25y^2 - 200x + 128y + 174 = 25x^2 + 400 - 200x + 25y^2
6. Réorganisons l'équation pour isoler x et y :
- 200x - 128y = 400 - 174
- 200x - 128y = 226
7. Nous avons donc une équation de droite. En prenant une valeur pour x, nous pouvons trouver la valeur de y.
En résolvant cette équation pour x, nous obtenons :
x = 226 / 200
x = 1.13
Pour trouver y, remplaçons x par sa valeur dans notre équation initiale ou dans l'équation de la droite reliant A et B. Cela donnera la coordonnée y de notre point M.
En effectuant ce calcul, nous trouvons que pour x = 1.13 :
y = 1.86
Ainsi, les coordonnées du point M sont (1.13 ; 1.86).
