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Une exploitation agricole est située dans une commune rurale, près d'une rivière. Cette exploitation agricole utilise des engrais, dont des nitrates. Ces nitrates sont entraînés petit à petit vers la rivière. Les responsables de la commune signalent que la rivière est polluée car une analyse révèle que la concentration en ions nitrates s'élève à 79 mg/L (milligrammes par litre), alors qu'une eau qui dépasse une concentration de 50 mg/ L n'est plus potable.
Le maire de la commune impose à l'exploitant agricole une dépollution progressive de la rivière afin que l'eau atteigne une concentration en ions nitrates inférieure à 50 mg/L d'ici 2 ans.
L'exploitant agricole fait appel à un expert pour qu'il établisse un protocole de dépollution de la rivière. Ce protocole prévoit de diminuer de 2% par mois la concentration en ions nitrates de l'eau de la rivière.
Problématique: Si on considère que la dépollution de la rivière proposée par l'expert va se poursuivre chaque mois selon le protocole prévu pendant 2 années consécutives, l'objectif du maire sera-t-il atteint?


Répondre :

Bonjour, voici la réponse :

Pour déterminer si l'objectif du maire sera atteint, nous devons calculer la concentration en ions nitrates après 2 ans en suivant le protocole de dépollution proposé par l'expert.

La dépollution prévoit une diminution de 2% par mois de la concentration en ions nitrates dans l'eau de la rivière.

Nous pouvons utiliser la formule suivante pour calculer la concentration en ions nitrates chaque mois :
\[ C_n = C_0 \times (1 - r)^n \]
Où :
- \( C_n \) est la concentration en ions nitrates après n mois,
- \( C_0 \) est la concentration initiale en ions nitrates (79 mg/L),
- \( r \) est le taux de diminution mensuel (2% ou 0,02), et
- \( n \) est le nombre de mois.

Nous allons utiliser cette formule pour calculer la concentration en ions nitrates après 24 mois (2 ans).

\[ C_{24} = 79 \times (1 - 0,02)^{24} \]

Calculons cela :
\[ C_{24} = 79 \times (0,98)^{24} \]

\[ C_{24} ≈ 79 \times (0,551) \]

\[ C_{24} ≈ 43,53 \text{ mg/L} \]

La concentration en ions nitrates après 2 ans serait d'environ 43,53 mg/L, ce qui est inférieur à la limite de 50 mg/L fixée par le maire. Par conséquent, si le protocole de dépollution est suivi selon les spécifications de l'expert, l'objectif du maire sera atteint.
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