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Réponse:
Pour que les cordes [AB] et [CD] soient parallèles, il faut que les pentes des droites (AB) et (CD) soient égales. Les pentes des droites peuvent être trouvées en utilisant les coordonnées des points A, B, C et D.
Soit A(a, 1/a), B(b, 1/b), C(c, 1/c) et D(d, 1/d).
La pente de la droite (AB) est donnée par : \( m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a} = \frac{a - b}{ab} \)
La pente de la droite (CD) est donnée par : \( m_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{\frac{1}{d} - \frac{1}{c}}{d - c} = \frac{c - d}{cd} \)
Pour que (AB) et (CD) soient parallèles, \( m_{AB} = m_{CD} \), donc \( \frac{a - b}{ab} = \frac{c - d}{cd} \).
En simplifiant cette équation, on obtient \( ad - bc = 0 \).
Donc, les cordes [AB] et [CD] sont parallèles si et seulement si \( ad - bc = 0 \).
Réponse:
Pour que les cordes \([AB]\) et \([CD]\) soient parallèles, il faut que les pentes des droites passant par ces cordes soient égales, car deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
La pente de la droite passant par les points \(A\) et \(B\) est \((y_B - y_A) / (x_B - x_A)\), et la pente de la droite passant par les points \(C\) et \(D\) est \((y_D - y_C) / (x_D - x_C)\).
Puisque les points \(A\), \(B\), \(C\), et \(D\) sont sur l'hyperbole \(y = \frac{1}{x}\), nous avons \(y_A = \frac{1}{a}\), \(y_B = \frac{1}{b}\), \(y_C = \frac{1}{c}\), et \(y_D = \frac{1}{d}\).
Donc, les pentes des droites \(AB\) et \(CD\) sont respectivement:
\[\frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}\]
et
\[\frac{\frac{1}{d} - \frac{1}{c}}{d - c}\]
Pour que les cordes \([AB]\) et \([CD]\) soient parallèles, ces deux pentes doivent être égales. Donc, nous avons :
\[\frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a} = \frac{\frac{1}{d} - \frac{1}{c}}{d - c}\]
À partir de là, vous pouvez résoudre cette équation pour déterminer les conditions sur les réels \(a\), \(b\), \(c\), et \(d\).
j'espère t'avoir aider
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