Bonjour, voici ma réponse:
Bonjour ! Pour résoudre cette équation diophantienne, nous allons suivre les étapes suivantes :
1. Trouver une solution particulière :
Nous pouvons commencer à essayer différentes valeurs de (x, y) pour trouver une solution particulière. Parfois, une solution évidente se présente, mais dans ce cas, cela peut prendre un peu plus de temps. Nous pouvons essayer les valeurs suivantes :
(x, y) = (3, 3)
En substituant ces valeurs dans l'équation, nous obtenons :
35(3) - 27(3) = 105 - 81 = 24 ≠ 6
Il est évident que cette solution particulière ne fonctionne pas, donc nous devons essayer autre chose.
2. Utiliser l'algorithme d'Euclide étendu :
L'algorithme d'Euclide étendu est un outil utile pour résoudre les équations diophantiennes. Dans ce cas, nous allons l'utiliser pour trouver les coefficients de Bézout (u et v) dans l'équation :
35x - 27y = pgcd(35, 27)
Appliquons l'algorithme d'Euclide étendu :
35 = 1 * 27 + 8
27 = 3 * 8 + 3
8 = 2 * 3 + 2
3 = 1 * 2 + 1
2 = 2 * 1 + 0 (pgcd(35, 27) = 1)
En remontant maintenant l'algorithme, nous pouvons trouver les coefficients de Bézout (u et v) :
1 = 3 - 1 * 2
2 = 8 - 2 * 3
3 = 27 - 3 * 8
8 = 35 - 1 * 27
Nous avons maintenant les coefficients de Bézout (u et v) :
u = 3
v = -1
3. Trouver une solution particulière à l'équation diophantienne :
Maintenant que nous avons les coefficients de Bézout (u et v), nous pouvons trouver une solution particulière à l'équation en multipliant u et v par la valeur de 6 (le reste dans l'équation diophantienne d'origine) :
z = 6 = 35u + 27v = 35(3) + 27(-1) = 105 - 27 = 78
Donc, une solution particulière à l'équation diophantienne est :
z = 78
4. En déduire toutes les solutions du système de congruences :
Maintenant que nous avons une solution particulière, nous pouvons déduire toutes les solutions du système de congruences :
z ≡ 0 [35]
z ≡ 6 [27]
Nous allons d'abord trouver les solutions à chaque congruence individuelle :
Pour la congruence z ≡ 0 [35], les solutions possibles pour z sont :
z = 0, 35, 70, 105, ...
Pour la congruence z ≡ 6 [27], les solutions possibles pour z sont :
z = 6, 33, 60, 87, ...
Maintenant, nous devons trouver les solutions communes aux deux congruences. Comme nous avons une solution particulière (z = 78), nous pouvons le soustraire de chaque solution des congruences individuelles :
Pour la congruence z ≡ 0 [35], les solutions communes possibles pour z - 78 sont :
z - 78 = 0 - 78 = -78, 35 - 78 = -43, 70 - 78 = -8, 105 - 78 = 27, ...
Pour la congruence z ≡ 6 [27], les solutions communes possibles pour z - 78 sont :
z - 78 = 6 - 78 = -72, 33 - 78 = -45, 60 - 78 = -18, 87 - 78 = 9, ...
Par conséquent, les solutions communes aux deux congruences sont les valeurs de z - 78 qui apparaissent dans les intersections des solutions des congruences individuelles.
En résumé, les solutions communes aux deux congruences sont :
z = -43, -8, 9, 27, ...
J'espère que cela vous aide à résoudre l'équation diophantienne et à trouver toutes les solutions du système de congruences ! N'hésitez pas à me demander si vous avez d'autres questions.w
