Répondre :
Pour montrer que
sin
1
5
∘
=
6
−
2
4
sin15
∘
=
4
6
−
2
, nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
sin(a−b)=sinacosb−cosasinb.
Dans ce cas, considérons
a
=
4
5
∘
a=45
∘
et
b
=
3
0
∘
b=30
∘
. La formule devient :
sin
1
5
∘
=
sin
(
4
5
∘
−
3
0
∘
)
sin15
∘
=sin(45
∘
−30
∘
)
Utilisons les valeurs données
cos
1
5
∘
=
2
+
6
4
cos15
∘
=
4
2
+
6
et
sin
3
0
∘
=
1
2
sin30
∘
=
2
1
pour remplacer dans la formule :
sin
1
5
∘
=
sin
4
5
∘
⋅
cos
3
0
∘
−
cos
4
5
∘
⋅
sin
3
0
∘
sin15
∘
=sin45
∘
⋅cos30
∘
−cos45
∘
⋅sin30
∘
sin
1
5
∘
=
2
2
⋅
3
2
−
2
2
⋅
1
2
sin15
∘
=
2
2
⋅
2
3
−
2
2
⋅
2
1
Simplifions cela :
sin
1
5
∘
=
6
−
2
4
sin15
∘
=
4
6
−
2
Ainsi, la relation est confirmée.
sin
1
5
∘
=
6
−
2
4
sin15
∘
=
4
6
−
2
, nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
sin(a−b)=sinacosb−cosasinb.
Dans ce cas, considérons
a
=
4
5
∘
a=45
∘
et
b
=
3
0
∘
b=30
∘
. La formule devient :
sin
1
5
∘
=
sin
(
4
5
∘
−
3
0
∘
)
sin15
∘
=sin(45
∘
−30
∘
)
Utilisons les valeurs données
cos
1
5
∘
=
2
+
6
4
cos15
∘
=
4
2
+
6
et
sin
3
0
∘
=
1
2
sin30
∘
=
2
1
pour remplacer dans la formule :
sin
1
5
∘
=
sin
4
5
∘
⋅
cos
3
0
∘
−
cos
4
5
∘
⋅
sin
3
0
∘
sin15
∘
=sin45
∘
⋅cos30
∘
−cos45
∘
⋅sin30
∘
sin
1
5
∘
=
2
2
⋅
3
2
−
2
2
⋅
1
2
sin15
∘
=
2
2
⋅
2
3
−
2
2
⋅
2
1
Simplifions cela :
sin
1
5
∘
=
6
−
2
4
sin15
∘
=
4
6
−
2
Ainsi, la relation est confirmée.
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