Réponse:
1) a) Si \(\sqrt{2}\) est rationnel, alors \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers naturels non nuls. En élevant au carré, on obtient \(2 = \frac{p^2}{q^2}\), d'où \(p^2 = 2q^2\).
b) Si \(p^2 = 2q^2\), alors \(p^2\) est pair, ce qui signifie que \(p\) est pair, car le carré d'un nombre impair est impair.
2) a) Si \(p\) est pair, alors \(p\) se termine par 0, 2, 4, 6, ou 8. En conséquence, le dernier chiffre de \(p^2\) sera 0.
b) Cela implique que le dernier chiffre de \(p^2\) est 0, et par conséquent, les derniers chiffres possibles de \(p^2\) sont 00, 20, 40, 60, 80.
3) Construire le tableau avec le dernier chiffre de \(2q^2\) en fonction de celui de \(q\) (les deux derniers chiffres possibles sont 00 et 20).
4) a) Comme \(p^2\) se termine par 0, cela signifie que \(p\) se termine également par 0. En raisonnant de la même manière, \(q\) doit également se terminer par 0.
b) Si \(p\) et \(q\) se terminent par 0, le nombre n'est pas irréductible, car ils ont un facteur commun (2). Cela contredit l'hypothèse initiale que \(\sqrt{2}\) est irréductible. Par conséquent, \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
