1. Pour exprimer les vecteurs CM et CN en fonction des vecteurs AB et AC, nous pouvons utiliser la relation de Chasles.
Le vecteur CM peut être exprimé comme la somme des vecteurs AM et AC :
CM = AM + AC
Le vecteur CN peut être exprimé comme la somme des vecteurs CN et CA :
CN = CN + CA
2. Pour montrer que les points C, M et N sont alignés, nous devons montrer que les vecteurs CM et CN sont colinéaires.
Pour cela, nous pouvons montrer que le rapport des composantes des vecteurs CM et CN est constant. Si le rapport est constant, alors les vecteurs sont colinéaires.
Donc, nous pouvons calculer le rapport des composantes des vecteurs CM et CN :
(Remember that AM = AB and BN = 3AC-2AB)
Pour CM :
CM = AM + AC = AB + AC
Pour CN :
CN = BN + CA = (3AC-2AB) + AC
Maintenant, nous pouvons calculer le rapport des composantes :
(Remember that AB et AC sont des vecteurs, donc nous pouvons les exprimer en termes de leurs composantes)
Pour CM :
CM = (ABx + ACx, ABy + ACy)
Pour CN :
CN = ((3ACx-2ABx) + ACx, (3ACy-2ABy) + ACy)
Maintenant, nous pouvons calculer le rapport des composantes :
(Remember that the ratio should be constant)
Pour le rapport des composantes en x :
(ABx + ACx) / ((3ACx-2ABx) + ACx) = ABx / (3ACx-2ABx)
Pour le rapport des composantes en y :
(ABy + ACy) / ((3ACy-2ABy) + ACy) = ABy / (3ACy-2ABy)
Si le rapport des composantes en x est égal au rapport des composantes en y, alors les vecteurs CM et CN sont colinéaires. Si c'est le cas, cela signifie que les points C, M et N sont alignés.
