Réponse:
Pour déterminer les valeurs de \(x\) telles que \(\sqrt{x} = x\), commençons par élever les deux côtés de l'équation au carré, car la racine carrée (\(\sqrt{\phantom{x}}\)) est présente dans l'équation.
\[\sqrt{x} = x\]
\[(\sqrt{x})^2 = x^2\]
\[x = x^2\]
Maintenant, simplifions l'équation en soustrayant \(x\) des deux côtés :
\[0 = x^2 - x\]
Factorisons \(x\) :
\[0 = x(x - 1)\]
Cela donne deux solutions possibles :
1. \(x = 0\)
2. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Ainsi, les valeurs de \(x\) telles que \(\sqrt{x} = x\) sont \(x = 0\) et \(x = 1\).
Pour démontrer qu'il n'y a pas d'autres possibilités, on peut examiner les deux cas :
1. Lorsque \(x = 0\), l'équation est vérifiée : \(\sqrt{0} = 0\).
2. Lorsque \(x = 1\), l'équation est également vérifiée : \(\sqrt{1} = 1\).
Il n'y a pas d'autres solutions, car les valeurs de \(x\) ne peuvent pas être négatives (puisque \(x \geq 0\)) et il n'y a pas d'autres solutions entières pour lesquelles \(\sqrt{x} = x\). Ainsi, les seules valeurs valides sont \(x = 0\) et \(x = 1\).
