Réponse :
bien sur
Explications étape par étape :
Construction de la figure :
Tracer le segment
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AB pour représenter le parallélogramme
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ABCD.
Trouver le milieu
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E de
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AD (c'est-à-dire diviser
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AD en deux parties égales).
Tracer le segment
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BE.
Tracer le segment
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AC.
Trouver le point d'intersection
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G entre
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AC et
�
�
BE.
Vous devriez maintenant avoir un dessin représentant le parallélogramme
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ABCD, avec
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E comme milieu de
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AD et
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G comme point d'intersection entre
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�
AC et
�
�
BE.
Démonstration que (DG) passe par le milieu de [AB] :
Soit
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M le milieu de
�
�
AB. Prouvons que
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D,
�
G, et
�
M sont alignés.
Comme
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ABCD est un parallélogramme,
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∥
�
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AB∥CD.
En conséquence,
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�
∥
�
�
AB∥DC et
�
�
∥
�
�
AD∥BC.
Par le théorème des milieux,
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EG est parallèle à
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�
DC et
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�
EG est également parallèle à
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�
AB.
Ainsi,
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�
∥
�
�
AB∥EG.
Cela signifie que
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�
�
�
ABEG est un quadrilatère parallélogramme. En tant que diagonale d'un parallélogramme,
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DG coupe le parallélogramme en deux triangles égaux, donc
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D,
�
G, et
�
M sont alignés, et
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�
DG passe par le milieu de
�
�
AB.
Démonstration que
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=
1
3
�
�
AG=
3
1
AC :
Soit
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N le point de rencontre entre
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�
DG et
�
�
AC. Prouvons que
�
�
=
1
3
�
�
AG=
3
1
AC.
En utilisant le résultat précédent (
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�
DG passe par le milieu de
�
�
AB), nous savons que
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=
�
�
DN=NG.
En tant que
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E est le milieu de
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�
AD,
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�
=
�
�
AN=ND.
Par conséquent,
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=
�
�
=
�
�
AN=ND=NG.
Maintenant, considérons le triangle
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�
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AGC. Par le théorème des milieux,
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�
NG est parallèle à
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�
AC et égale à la moitié de
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�
AC. Donc,
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�
=
�
�
=
1
2
�
�
AG=NG=
2
1
AC.
En combinant cela avec
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�
=
�
�
AN=NG, nous avons
�
�
=
1
3
�
�
AG=
3
1
AC, comme souhaité.
