Planète la plus proche du Soleil, Mercure est longtemps restée mal connue. En première approximation, sa trajectoire dans le référentiel héliocentrique peut être considérée comme circulaire.
Dans cet exercice, on souhaite vérifier si l'hypothèse de l'orbite circulaire est acceptable pour
Mercure.
Données:
• Rayon de Mercure : Ru = 2440 km
Masse de mercure : Mm = 3,302.10^23 kg
Masse du Soleil : Ms = 1,989.10^30 kg
Distance Soleil/Mercure (hypothèse de l'orbite circulaire) : D = 0,386 ua (centre à centre)
Unité astronomique (rayon de l'orbite terrestre) : 1 ua = 1,5x10^11 m
Constante universelle de gravitation : G = 6,67x10^-11 m^3.kg^-1.s^-2
Le repère d'étude est le repère de Frenet centré sur la planète Mercure et de vecteurs unitaires
uT et uN.
Partie 1-Etude de l'hypothèse de l'orbite circulaire :
1. Faire un schéma représentant Mercure, le Soleil, le repère de Frenet ainsi que la force gravitationnelle Fs/M exercée par le Soleil sur Mercure, dans l'hypothèse d'une orbite circulaire.
2. Donner l'expression de s/M dans le repère de Frenet.
3. Enoncer la deuxième loi de Newton et l'appliquer à Mercure dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. En déduire une expression de l'accélération à de Mercure en fonction de G, Ms et D.
4. Montrer que dans l'hypothèse d'une orbite circulaire, la valeur de la vitesse de Mercure est
G.Ms
constante et qu'elle s'exprime VM = racine de G.Ms/D
5. Calculer la vitesse VM.
Partie 2 - Comparaison avec l'orbite réelle
(Les données pour cette partie se trouvent en Annexe)
En réalité, de toutes les planètes du Système solaire, c'est Mercure qui possède l'orbite la plus excentrique.
1. Sur un schéma, représenter la planète Mercure et le Soleil dans l'hypothèse d'une orbite elliptique. On fera apparaitre sur le schéma le demi-grand axe a, ainsi que les points A et P correspondant à l'aphélie et le périhélie de l'orbite.
2. Déterminer la valeur du demi-grand a de l'orbite de Mercure.
3. Déterminer les vitesses VA et vp de Mercure aux points A et P de son orbite. Les comparer à la vitesse Vm trouvée dans la première partie. Commenter.
4. Utiliser une loi de Kepler pour expliquer la différence entre vA et vP.
5. En utilisant la 3eme loi de Kepler, calculer la période Tm (en j) de Mercure autour du Soleil.
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