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résolu

Rappelons le problème suivant, dont la solution a été donnée dans la théorie sur la méthode Vieta jumping.

Soit a
et b
des entiers strictement positifs tels que ab
divise $a^2+b^2+1$. Prouver que $a^2+b^2+1ab=3$
.

Il est en fait possible, si l'on a bien compris la solution donnée, de trouver tous les couples (a,b)
d'entiers strictement positifs tels que ab
divise $a^2+b^2+1$. Nous ne considérons que les couples avec $a≥b$
. Notons $(a_1,b_1),(a_2,b_2),…,(a_n,b_n),…$
tous les tels couples, de sorte que $a_n≥b_n$
et $a_n+b_n≤a_{n+1}+b_{n+1}$
pour tout n
.

Que vaut $a_{15}+b_{15}$
? Répondre −1
s'il y a moins de quinze couples vérifiant l'énoncé.

On demande une réponse entière.

Répondre :

Réponse :

Explications étape par étape :

Méthode de Vieta Jumping

L'idée est de considérer le couple (a,b)(a,b) qui minimise la somme a+ba+b parmi tous les couples qui satisfont l'énoncé. Supposons que ce couple soit (a15,b15)(a15​,b15​).

Ensuite, nous pouvons utiliser la méthode Vieta jumping pour montrer que ce couple doit satisfaire certaines conditions particulières.

Nous avons a152+b152+1=ka15b15a152​+b152​+1=ka15​b15​.

Considérons maintenant la somme S=a15+b15S=a15​+b15​. Supposons qu'il existe un couple (a,b)(a,b) tel que a+b<Sa+b<S et abab divise a2+b2+1a2+b2+1.

En utilisant la méthode Vieta jumping, on peut montrer que si (a,b)(a,b) est une telle paire, alors (kb−a,b)(kb−a,b) est une autre paire qui vérifie également les conditions. De plus, kb−akb−a est plus petit que aa, ce qui contredit le fait que (a,b)(a,b) minimise a+ba+b.

Cela signifie que (a15,b15)(a15​,b15​) est le plus petit couple possible, et donc a15+b15a15​+b15​ est la somme minimale parmi tous les couples satisfaisant les conditions.

Conclusion

Nous ne pouvons pas spécifier une valeur exacte pour a15+b15a15​+b15​ sans connaître les valeurs spécifiques de a15a15​ et b15b15​.

Si vous avez des valeurs spécifiques pour a15a15​ et b15b15​, je pourrais alors calculer a15+b15a15​+b15​. Sinon, nous ne pouvons que dire que a15+b15a15​+b15​ est la somme minimale parmi les quinze couples satisfaisant les conditions.

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