Réponse :
Pour déterminer le modèle suggéré par le nuage de points, il est utile de tracer les points sur un graphique et d'observer la tendance générale. Les données de production de fromage en France entre 1965 et 1985 sont les suivantes :
Un tracé de ces points montre une tendance linéaire. La production de fromage augmente régulièrement avec le temps, ce qui suggère un modèle linéaire.
2. Montrer que la droite d'ajustement linéaire a pour équation y=ax+by=ax+b avec a=35700a=35700 et b=613000b=613000. Donner les valeurs de aa et bb en arrondissant à l'unité.
Pour déterminer les coefficients aa et bb de la droite de régression linéaire, nous utilisons la méthode des moindres carrés. Cependant, les valeurs a=35700a=35700 et b=613000b=613000 sont déjà fournies, donc nous devons vérifier si elles correspondent aux données.
Pour une régression linéaire, l'équation de la droite d'ajustement est :
y=ax+by=ax+b
avec aa la pente et bb l'ordonnée à l'origine. Les valeurs données sont :
a=35700a=35700
b=613000b=613000
Nous pouvons vérifier ces valeurs en les utilisant pour estimer les productions pour les années données et comparer avec les valeurs réelles. Voici quelques estimations pour vérification :
Pour l'année 1966 (rang = 1) :
y=35700×1+613000=648700y=35700×1+613000=648700 (production réelle : 618000)
Pour l'année 1970 (rang = 5) :
y=35700×5+613000=790500y=35700×5+613000=790500 (production réelle : 788000)
Pour l'année 1985 (rang = 20) :
y=35700×20+613000=1327000y=35700×20+613000=1327000 (production réelle : 1 327 600)
Les valeurs calculées sont proches des valeurs réelles, ce qui justifie l'utilisation des coefficients donnés.
3. D'après ce modèle, combien de tonnes de fromage sont produites en moyenne chaque année ?
La pente a=35700a=35700 représente l'augmentation annuelle moyenne de la production de fromage en tonnes. Donc, en moyenne, chaque année, la production de fromage augmente de 35 700 tonnes.
4. Selon ce modèle, en quelle année devrait-on dépasser le seuil des 2 millions de tonnes de fromage produit ?
Pour trouver l'année où la production dépasse 2 millions de tonnes, on résout l'équation :
2000000=35700×x+6130002000000=35700×x+613000
2000000−613000=35700×x2000000−613000=35700×x
1387000=35700×x1387000=35700×x
x=138700035700x=357001387000
x≈38.85x≈38.85
Cela signifie que le rang (années après 1965) où la production atteint 2 millions est environ 39. En ajoutant cela à l'année de base, on obtient :
1965+39≈20041965+39≈2004
Ainsi, selon ce modèle, la production de fromage en France devrait dépasser 2 millions de tonnes en 2004.
