Bien sûr, je vais vous aider à résoudre cet exercice.
**a) Déterminer la valeur de v(0) et v(1):**
- Au 1er janvier 2019 (n = 0), Olivier dépose 5 000 euros sur son compte. Donc, v(0) = 5000 euros.
- Pour calculer v(1), il faut ajouter les intérêts à la somme de départ v(0). Les intérêts sont de 2% de v(0). Donc,
\[ v(1) = v(0) + 0.02 \times v(0) = 5000 + 0.02 \times 5000 = 5000 + 100 = 5100 \]
Donc, v(1) = 5100 euros.
**b) Exprimer v(n) en fonction de n:**
- Chaque année, la somme sur le compte épargne v(n) est augmentée de 2% par rapport à l'année précédente. Cela signifie que chaque année, la nouvelle somme v(n+1) est égale à la somme de l'année précédente v(n) plus 2% de cette somme.
Mathématiquement, on a :
\[ v(n+1) = v(n) + 0.02 \times v(n) \]
En simplifiant, on obtient :
\[ v(n+1) = (1 + 0.02) \times v(n) = 1.02 \times v(n) \]
Donc, v(n) peut être exprimé en fonction de n par :
\[ v(n) = v(0) \times (1.02)^n \]
\[ v(n) = 5000 \times (1.02)^n \]
**c) Calcul de v(2040):**
- Pour calculer la somme sur le compte en banque en 2040 (n = 2040), utilisez la formule v(n) = 5000 × (1.02)^n :
\[ v(2040) = 5000 \times (1.02)^{2040} \]
- Vous pouvez utiliser une calculatrice pour évaluer cette expression. Cependant, notons que cette valeur sera très grande en raison de la croissance exponentielle due aux intérêts composés sur une longue période.
Vous pouvez maintenant utiliser cette formule pour calculer v(2040) et obtenir la somme sur le compte en banque d'Olivier en 2040.
