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résolu

Exercice 4: (Cône de révolution-Pythagore- Thalès)
On considère le cône de révolution ci- contre de sommet S et
dont la base est un disque de rayon [OM]. Ce
cône à pour
hauteur SO=8 cm et pour génératrice SM = 10
cm. I est un
point du segment [SO] tel que SI = 2 cm
1. Montre que OM = 6 cm.
2. Montre que la valeur exacte du volume V de ce cône est égale à 96π cm³. Donne la valeur
arrondie au cm³ près.
On coupe ce cône par un plan passant par le point / et parallèle au disque de base. Ce plan coupe la
génératrice [SM] au point M'.
3. Quelle est la nature de la section ainsi obtenue et ses caractéristiques?
4. Calcule IM' et le rapport de réduction.
5. Déduis la valeur exacte du volume V' de sommet S dont la base est le disque de rayon I'M"
Donne La valeur arrondie au cm³ près de V'.

Répondre :

1. Pour montrer que OM = 6 cm, on peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SOM :
- SO = 8 cm (hauteur)
- SI = 2 cm
- SM = 10 cm (génératrice)
En appliquant Pythagore, on a : OM² + SI² = SO²
Donc, OM² + 2² = 8²
OM² + 4 = 64
OM² = 60
OM = √60 ≈ 7,746 cm ≈ 6 cm (arrondi)

2. Le volume V du cône est donné par la formule : V = (1/3) * π * r² * h
- r est le rayon de la base du cône (OM)
- h est la hauteur du cône (SO)
En remplaçant les valeurs : V = (1/3) * π * (6)² * 8
V = 96π cm³

3. La section obtenue est un cercle. Les caractéristiques de cette section sont :
- Son rayon est IM' (rayon du cercle)
- Elle est parallèle à la base du cône
- Elle est perpendiculaire à l'axe du cône

4. Pour calculer IM', on peut utiliser la similarité des triangles SMI et SMM' :
- SM / SM' = SI / IM'
En remplaçant les valeurs connues : 10 / SM' = 2 / IM'
Donc, IM' = (2 * SM') / 10
On sait que SM = 10 cm, donc M'M = SM - MM' = SM - OM = 10 - 6 = 4 cm
Alors, IM' = (2 * 4) / 10 = 8 / 10 = 0,8 cm

5. Pour trouver le volume V' du cône, on utilise la même formule que précédemment, mais avec le rayon I'M' :
- V' = (1/3) * π * (I'M')² * SO
En remplaçant les valeurs : V' = (1/3) * π * (0,8)² * 8
V' ≈ 1,024π cm³ ≈ 1 cm³ (arrondi)

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