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Réponse :
Pour calculer le bénéfice quotidien maximum, nous devons trouver le point où la recette est maximisée et soustraire les coûts fixes de cette recette maximale.Tout d'abord, nous avons la fonction de recette quotidienne \( R(x) = -x^2 + 6x^3 - 12x^2 + 10x \), où \( x \) représente la quantité de parfum vendue en centaines de litres par jour. Ensuite, pour trouver le bénéfice quotidien maximum, nous devons déterminer la dérivée de cette fonction (car le bénéfice maximal correspond au point où la pente de la fonction de recette est nulle). La dérivée de \( R(x) \) est calculée comme suit:
R'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x^3 - 12x^2 + 10x)
En utilisant les règles de dérivation, nous obtenons:
R'(x) = -4x^3 + 18x^2 - 24x + 10
Maintenant, pour trouver les points critiques où la dérivée s'annule, nous devons résoudre l'équation \( R'(x) = 0 \). Cependant, il semble qu'il y a une erreur dans la factorisation. Laissez-moi corriger cela.
R'(x) = -4x^3 + 18x^2 - 24x + 10 = 0
Nous ne pouvons pas factoriser directement cette équation. Nous devons utiliser une autre méthode pour trouver les solutions. Une option est d'utiliser la méthode de Newton-Raphson ou tout autre méthode numérique, mais puisque vous avez fourni un écran de calcul formel, nous pouvons utiliser cela pour trouver les solutions.
Après avoir trouvé les valeurs de \( x \) qui annulent la dérivée, nous devons vérifier la nature de ces points pour confirmer qu'ils correspondent à un maximum de la recette. Cela peut être fait en analysant la concavité de la fonction.
Une fois que nous avons identifié le point où la recette est maximisée, nous pouvons substituer cette valeur dans la fonction de recette pour trouver la recette maximale. Ensuite, en soustrayant les coûts fixes quotidiens de cette recette maximale, nous obtiendrons le bénéfice quotidien maximum.
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