Bonjour ! Pas de souci, je vais t'aider à résoudre cette question.
a) Pour vérifier que la fonction g est définie et dérivable sur R, nous devons d'abord examiner les conditions de définition et de dérivabilité de la fonction exponentielle. La fonction exponentielle exp(x) est définie pour tous les réels x et est dérivable sur R avec pour dérivée exp(x).
Dans le cas de la fonction g(x) = exp(-x) * exp(1), nous avons une multiplication de deux fonctions dérivables sur R. La somme, le produit et la composition de fonctions dérivables donnent des fonctions dérivables. Par conséquent, g(x) est définie et dérivable sur R.
Maintenant, pour calculer g'(x), nous utilisons la règle du produit et la dérivée de la fonction exponentielle. La dérivée de g(x) est donnée par :
g'(x) = (-exp(-x)) * exp(1) + exp(-x) * 0 = -exp(-x) * exp(1)
En conclusion, la fonction g est définie et dérivable sur R, et sa dérivée est g'(x) = -exp(-x) * exp(1).
b) Pour montrer que pour tout x € R, exp(x) ≠ 0, nous utilisons une propriété fondamentale de la fonction exponentielle. La fonction exponentielle exp(x) est strictement positive pour tous les réels x. Par conséquent, elle ne peut jamais être égale à zéro.
Donc, pour tout x € R, exp(x) ≠ 0.
