f(x)=2(x+3)(x-2) pour tout x réel.
1) Résoudre f(x) = 0.
2(x+3)(x-2)= 0
x= - 3 ou x= 2
Faire un schéma à main levée de l'allure de la courbe représentative dans un repère orthonormé. en pj. ↓
3) Déterminer le tableau de signes de la fonction f sur R
x - ∞ -3 2 + ∞
(x+3) - Ф + I +
(x-2) - I - Ф +
P + Ф - Ф +
4) En déduire les solutions de l'inéquation f(x) ≥ 0.
S= ] - ∞; -3 ] U [ 2; + ∞ [ .
Réponse:
1) Pour résoudre \( f(x) = 0 \), on égale la fonction à zéro et on résout pour \( x \):
\[ 2(x+3)(x-2) = 0 \]
Cela donne deux solutions:
\[ x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \]
\[ x-2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
Donc les solutions de \( f(x) = 0 \) sont \( x = -3 \) et \( x = 2 \).
2) Pour le schéma à main levée de la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé, on remarque que c'est une parabole ouverte vers le haut, avec un sommet entre les deux racines \( x = -3 \) et \( x = 2 \).
3) Pour le tableau de signes de \( f \) sur \( \mathbb{R} \), on examine le signe de \( f(x) \) entre les racines et à l'extérieur:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -3 & 2 & +\infty \\
\hline
f(x) & + & 0 & - & + \\
\hline
\end{array}
\]
4) En déduisant les solutions de \( f(x) \geq 0 \), on regarde où la fonction est positive ou nulle:
\[
f(x) \geq 0 \quad \text{quand} \quad x \in [-3, 2]
\]
Donc les solutions de \( f(x) \geq 0 \) sont \( x \in [-3, 2] \).
