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résolu

Suite auxiliaire
Soit u la suite définie par u(n + 1) = 4u(n) + 9 pour n ≥ 0 et u(0) = 1.

1. Calculer u(1) et u(2).
2. Montrer que la suite u n'est ni arithmétique ni géomé- trique.
3. Soit v la suite définie par v(n) = u(n) + 3. a) Calculer v(0).
b) Montrer que v est géométrique de raison 4.
c) En déduire une expression de v(n) en fonction de n.
d) Déduire de la question précédente une expression de u(n) en fonction de n.​

Répondre :

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour
u(n + 1) = 4u(n) + 9 pour n ≥ 0 et u(0) = 1.

1) U1 = 4xU0 + 9 = 4x1 + 9 = 13
  U2 = 4xU1 + 9 = 4x13 + 9 = 61
2) U1 - U0 = 13 - 1 = 12
   U2 - U1 = 61 - 13 = 48
   U2 - U1  différent de U1 - U0 la suite n'est pas arithmétique

U1 / U0 = 13 / 1 = 13
   U2 / U1 = 61 / 13 = 4,7
   U2 / U1  différent de U1 / U0 la suite n'est pas géométrique

3) v(n) = u(n) + 3.
a)  v(0) = U(0) + 3 = 1 + 3 = 4

b) v(n+1) = u(n+1) + 3
     v(n+1) = 4u(n) + 9+ 3
     v(n+1) = 4u(n) + 12
     v(n+1) = 4(u(n) + 3)
      v(n+1) = 4v(n)
Donc v est une suite géométrique de raison q = 4 et de 1er terme v(0) = 4

c) v(n) = v(0xq^n
   v(n) = 4x4^n = 4^n+1

d) v(n) = u(n) + 3 soit u(n) = v(n) - 3
  u(n) = 4^n+1 - 3



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