Répondre :
1)
(D) a pour équations paramétriques :
[tex]\left \{ {{x=2+t} \atop {y=1-2t}} \right.[/tex] avec t appartenant à R.
Cela veut dire que F appartient à (D) si et seulement si il existe t tel que les coordonnées de F respecte le système d'équation.
Dans cet exercice tu dois donc vérifier qu'il existe un réel t tel que :
[tex]1 = 2 +t[/tex] et [tex]3 = 1 - 2t[/tex]
Avec la première équation, on obtient [tex]t=-1[/tex]
Et si on remplace t par -1 dans la deuxième équation, on a
[tex]1 - 2 *(-1) = 1 + 2 = 3[/tex]
Donc t = -1 est bien solution.
Donc F(1,3) appartient à (D).
2) Pour établir l'équation cartésienne de (D), on part du système de deux équations.
On prend par exemple la première équation, et on exprime t en fonction du reste.
[tex]t = x - 2[/tex]
Il nous suffit alors de réinjecter t dans la deuxième équation
[tex]y = 1 -2 *(x - 2) = 1 -2x +4 = -2x + 5[/tex]
Et on remet l'équation sur une forme plus commune du type [tex]ax + by + c = 0[/tex]
Donc, [tex]2x + y - 5 = 0[/tex]
3) (D) et (D') sont sécantes si et seulement, il existe un point qui appartient aux deux droites
donc, (D) et (D') sont sécantes si et seulement il existe un point E(x,y) vérifiant les deux équations suivantes :
[tex]2x + y - 5 = 0[/tex]
[tex]2x-3y-3=0[/tex]
En manipulant la deuxième équation on a : [tex]2x = 3y + 3[/tex]
On va remplacer 2x par 3y + 3 dans la première équation.
[tex]3y + 3 +y - 5 = 0[/tex]
Donc [tex]4y -2 = 0[/tex]
Donc [tex]y = \frac{1}{2}[/tex]
On remplace y par [tex]\frac{1}{2}[/tex] dans l'équation [tex]2x = 3y + 3[/tex]
[tex]2x = 3 * \frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}[/tex]
Donc [tex]x = \frac{9}{4}[/tex]
Le point d'intersection de (D) et (D') est donc le point E de coordonnées ([tex](\frac{9}{4} , \frac{1}{2} )[/tex]
Conseil : après une question un peu difficile où tu as un risque de faire des erreurs de calcul, n'hésite pas à remplacer la solution dans les équations de départ pour t'assurer que tu n'as pas fait d'erreur.
Par exemple, tu peux commencer par remplacer les coordonnées de E dans l'équation cartésienne de (D) :
[tex]2*\frac{9}{4} + \frac{1}{2} - 5 = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} - 5 = \frac{10}{2} - 5 = 0[/tex]
Puis dans l'équation cartésienne de (D') :
[tex]2*\frac{9}{4} - 3*\frac{1}{2} - 3 = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 = \frac{6}{2} - 3 = 3 - 3 = 0[/tex]
4) Pour établir facilement l'équation cartésienne d'une droite, on a besoin d'un point et d'un vecteur directeur.
Comme (G) est parallèle à (D'), cela veut dire quelle a le même vecteur directeur que (D')
Théorème : Si ax+by+c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur Vect(u) = (-b;a) est un vecteur directeur de (d).
Donc un vecteur directeur de (D') est : Vect(u) = (-(-3),2) = (3,2)
Pour cette question, nous devons trouver tous les points M de coordonnées (x,y) appartenant à la droite (G).
Nous allons maintenant utiliser la notion de déterminant de deux vecteurs et la propriété suivante : 'Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.'
Soit la droite (G) passant par le point L(2;2) et de vecteur directeur Vect(u) = (3,2).
Le point M de coordonnées (x,y) appartient à la droite (G) si et seulement Vect(LM) et Vect(u) sont colinéaires
Donc si et seulement si det(Vect(LM),Vect(u)) = 0
Il ne nous reste plus qu'à remplacer dans cette équation les différentes valeurs.
det(Vect(LM),Vect(u)) = 0
[tex]x_{Vect(LM)} * y_{Vect(u)} - y_{Vect(LM)} * x_{Vect(u)} = 0[/tex]
[tex](x - x_{L}) * 2 - (y - y_L)*3 = 0[/tex]
[tex](x - 2) * 2 - (y - 2)*3 = 0[/tex]
[tex]2x - 4 - 3y +6 = 0[/tex]
[tex]2x - 3y + 2 = 0[/tex]
Donc une équation cartésienne de (G) est : [tex]2x - 3y + 2 = 0[/tex]
Conseil : de nouveau vérifions notre calcul, en vérifiant que L appartient bien à cette droite et qu'on a le bon coefficient directeur.
[tex]2*2 - 3 *2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0[/tex]
Et un coefficient directeur est (3,2).
Normalement, c'est tout bon !
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