Ce problème t'invite à utiliser le théorème de Thales.
1. ABCD est un carré.
Donc les côtés opposés sont parallèles.
Donc (AD) et (CB) sont parallèles.
Par construction H appatient à (CB).
Donc (AD) et (BH) sont parallèles.
2. (AD) et (HB) sont parallèles
H appartient à (DE) et B appartient à (AE).
Nous pouvons donc appliquer le théorème de Thales aux triangles EBH et EAD.
[tex]\frac{EB}{EA} = \frac{BH}{AD}[/tex]
Or [tex]EA = AB + BE = 123 + 78 = 201[/tex]
Donc [tex]BH = AD * \frac{EB}{EA} = 123 * \frac{78}{201} = \frac{3*41*78}{3*67} =\frac{3198}{67}[/tex]
De plus [tex]GH = GB - HB = 78 - \frac{3198}{67} = \frac{5226 - 3198}{67} = \frac{2028}{67}[/tex]
3. Soit O le point d'intersection de (DC) et de (FE)
En utilisant la réciproque du théorème de Thales, (CF) et (DE) sont parallèles si et seulement si [tex]\frac{OC}{OD} = \frac{OF}{OE}[/tex]
ce qui équivaut à [tex]OC*OE = OF*OD[/tex]
[tex]OC = EB = 78[/tex]
[tex]OD = OC + CD = 78 + 123 = 201[/tex]
[tex]OF = CG = DA - EF = 123 - 78 = 45[/tex]
[tex]OE = DA = 123[/tex]
[tex]OC * OE = 78 * 123 = 9594[/tex]
[tex]OF * OD = 201*45 = 9045[/tex]
(DC) et (FE) ne sont donc pas parallèles.
