Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon
suivante :
•Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la
partie suivante est 1/4;

•Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la
partie suivante est 1/2

•La probabilité de gagner la première partie est 1/4

Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l'événement
« La n^e partie est gagnée » et on note pn la probabilité de
cet événement. On a donc p₁ =
1/4
1) Montrer que P₂ = 7/16

2) Recopier et compléter l'arbre ci-contre en y inscrivant
les bonnes probabilités.

3) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
Pn+1= -0,25p+0,5

4) On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite
(un) par un = pn-0,4.

a) Démontrer que la suite (u) est une suite géométrique
dont on précisera la raison.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
P=0,4-0,15(-0,25)-1.

c) La suite (p) semble-t-elle converger? Si oui, conjecturer
sa limite et interpréter ce résultat.