Répondre :
Pour résoudre cet exercice, suivons les étapes indiquées :
1. **Montrer que \(h\) est une solution de l'équation différentielle (E) : \(z' = -0.1z + \frac{1}{550}\)**
La fonction \(h(x) = \frac{1}{f(x)}\) est donnée. Nous devons montrer que \(h\) satisfait l'équation différentielle (E).
La dérivée de \(h(x)\) est \(h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}\), par la règle du quotient.
Nous savons que \(f(x)\) est une solution de l'équation différentielle (E), donc \(f'(x) = 0.1f(x)(1 - \frac{1}{55}f(x))\).
En remplaçant \(f'(x)\) dans \(h'(x)\), nous obtenons :
\[h'(x) = -\frac{0.1f(x)(1 - \frac{1}{55}f(x))}{(f(x))^2}\]
Simplifions :
\[h'(x) = -0.1\frac{1 - \frac{1}{55}f(x)}{f(x)}\]
\[h'(x) = -0.1(h(x)) + \frac{1}{550}\]
Donc, \(h\) est une solution de l'équation différentielle (E).
2. **Résoudre l'équation (E) et déterminer l'expression de \(h(x)\)**
L'équation différentielle (E) est linéaire du premier ordre. Sa solution générale est de la forme :
\[z(x) = Ce^{-0.1x} + \frac{1}{550}\]
Où \(C\) est une constante à déterminer.
Puisque \(h(0) = \frac{1}{f(0)} = \frac{1}{12}\), nous avons \(z(0) = \frac{1}{12}\). En substituant dans l'expression de \(z(x)\), nous obtenons :
\[\frac{1}{12} = Ce^{0} + \frac{1}{550}\]
\[\frac{1}{12} - \frac{1}{550} = C\]
\[\frac{458}{6600} = C\]
Donc, l'expression de \(h(x)\) est :
\[h(x) = \frac{1}{12}e^{-0.1x} + \frac{1}{550}\]
3. **En déduire l'expression de \(f(x)\)**
Nous avons \(h(x) = \frac{1}{f(x)}\). Donc, \(f(x) = \frac{1}{h(x)}\).
En utilisant l'expression trouvée pour \(h(x)\), nous obtenons :
\[f(x) = \frac{1}{\left(\frac{1}{12}e^{-0.1x} + \frac{1}{550}\right)}\]
4. **Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice**
Pour calculer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), nous observons le comportement de l'expression lorsque \(x\) devient très grand.
En regardant l'expression de \(f(x)\), nous voyons que lorsque \(x\) devient très grand, \(e^{-0.1x}\) tend vers \(0\). Donc, la limite de \(f(x)\) est dominée par \(\frac{1}{\frac{1}{550}} = 550\).
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que la population tend vers \(550\) milliers d'individus à mesure que le temps (années après 2016) tend vers l'infini. Cela peut indiquer une stabilité de la population à long terme.
Merci d'avoir visité notre site Web dédié à Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez des questions ou besoin d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !