Réponse :
Explications étape par étape :
a. Pour calculer la hauteur SO du cône, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle OSH, où H est le pied de la hauteur issue de S.
�
�
2
+
�
�
2
=
�
�
2
OH
2
+SH
2
=SO
2
Nous avons déjà les longueurs OH (rayon du cercle de la base) et SH (la distance du point S à la base) :
�
�
=
�
�
=
6
cm
OH=OB=6cm
�
�
=
�
�
−
�
�
=
10
−
6
=
4
cm
SH=SB−OB=10−6=4cm
En utilisant ces valeurs, nous pouvons calculer SO.
�
�
2
+
�
�
2
=
6
2
+
4
2
=
36
+
16
=
52
OH
2
+SH
2
=6
2
+4
2
=36+16=52
Donc,
�
�
2
=
52
SO
2
=52
Donc,
�
�
=
52
=
2
13
≈
7
,
21
cm
SO=
52
=2
13
≈7,21cm
b. Le volume du cône est donné par la formule :
�
=
1
3
�
�
2
ℎ
V=
3
1
πr
2
h
Où r est le rayon de la base et h est la hauteur du cône.
Nous avons déjà calculé la hauteur SO du cône. Maintenant, nous avons besoin de calculer le rayon de la base OB.
�
�
=
6
cm
OB=6cm
En utilisant ces valeurs, nous pouvons calculer le volume du cône.
�
=
1
3
�
×
6
2
×
2
13
=
1
3
�
×
36
×
2
13
=
24
13
�
≈
89
,
59
cm
3
V=
3
1
π×6
2
×2
13
=
3
1
π×36×2
13
=24
13
π≈89,59cm
3
c. Pour montrer que les droites (SO) et (HM) sont perpendiculaires, nous devons montrer que les pentes des droites SO et HM sont négatives inverses l'une de l'autre.
La pente de (SO) est verticale, donc nous avons besoin de la pente de (HM). La droite (HM) est parallèle à la droite (OB), donc la pente de (HM) est la même que la pente de (OB), ce qui est égal à la pente de la droite (SB), car (OB) et (SB) sont parallèles.
Pente de (SB)
=
�
�
−
�
�
�
�
=
10
−
6
6
=
4
6
=
2
3
Pente de (SB)=
OB
SB−OB
=
6
10−6
=
6
4
=
3
2
La pente de (HM) est donc
2
3
3
2
.
La pente de (SO) est verticale, donc sa pente est infinie.
La pente de (HM) est l'inverse négatif de la pente de (SO), donc elles sont perpendiculaires.
d. Nous avons déjà calculé SO dans la première partie de l'exercice :
�
�
=
2
13
≈
7
,
21
cm
SO=2
13
≈7,21cm
