Dans un repère orthonormé du plan (O,⃗,⃗), on considère une fonction f, de courbe Cf, définie sur IR par :
f (x) = (x − 2) (3 − 5x) + 4 (−2 + x)
2
Partie A : Écrire et transformer
1. Montrer que pour tout réel x : f (x) = −x
2 − 3x + 10.
2. Factoriser f (x).
3. Montrer que pour tout réel x : f (x) = −(x +
3
2
)
2+
49
4
Par la suite, vous pourrez choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions posées.
Partie B : Étude de la fonction f
4. Résoudre l’inéquation f (x) ≥ 0. Interpréter le résultat obtenu.
5. Dresser le tableau de variations de f.
6. Démontrer que f est croissante sur un intervalle] −∞ ; α] que l’on précisera (α ∈ IR).
7. Déterminer le maximum de la fonction f sur IR et le réel pour lequel il est atteint.
8. Construire sur la feuille donnée en annexe la courbe Cf.
Partie C : Un joli trapèze
9. Construire dans le même repère la droite (d1) d’équation (d1) : y = x + 10.
10. Résoudre par le calcul l’inéquation f (x) ≥ x + 10. Interpréter le résultat obtenu.
11. En déduire sans calcul les coordonnées des points d’intersection A et B de Cf avec (d1).
On notera A le point d’abscisse la plus petite.
12. On considère les points D et E de Cf d’abscisses respectives −3 et 1.
Déterminer une équation réduite de la droite (DE).
13. Déterminer les coordonnées de Q, le point d’intersection de la droite (d1) et de la droite (d2) d’équation
(d2) : y = −x + 7. Vérifier que ce point appartient à l’axe de symétrie de la parabole Cf.
14. Montrer que le quadrilatère ADBE est un trapèze.