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résolu

Application guidée
Dans une gare de triage souterraine, les wagons, lâchés du haut d'une butte,
amorcent en A une descente sur une voie rectiligne avec une vitesse de valeur VA.
À partir du point B, la voie devient horizontale. Les wagons doivent avoir une
vitesse nulle au point C ou avant. Un wagon est modélisé par un point matériel
de masse met les frottements qui s'exercent sur un wagon sont modélisés par une
force constante unique Fopposée au déplacement. On suppose que les ruptures
de pente sont sans effet sur la vitesse.
Données: - F= 1,4×10² N; m=4,4 tonnes (t); L=AB+ BC= 8,0 x 102 m;
.dénivellation entre les points A et B:h=1,0 m.
1. En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, démontrer la relation suivante:
v=2x (FXL-gh)
m
2. En déduire que la valeur v₁ de la vitesse initiale du wagon ne doit pas dépasser
5,6 m-s-¹

Répondre :

Réponse:

Démonstration de la relation v = 2 x (F x L - g x h) / m en utilisant le théorème de l’énergie cinétique :

Le théorème de l’énergie cinétique stipule que la variation d’énergie cinétique d’un système est égale au travail des forces extérieures appliquées à ce système.

Soit :

Énergie cinétique initiale au point A : Ec,i = 1/2 x m x v₁²

Énergie cinétique finale au point C : Ec,f = 0 (vitesse nulle au point C)

Travail de la force de frottement F sur la distance L : W = -F x L

Travail de la force de pesanteur sur la dénivellation h : W_g = -m x g x h

D’après le théorème de l’énergie cinétique : Ec,f - Ec,i = W + W_g 0 - 1/2 x m x v₁² = -F x L - m x g x h v₁² = 2 x (F x L - g x h) / m

Donc, la relation est : v = √(2 x (F x L - g x h) / m)

Déduction de la valeur maximale de la vitesse initiale v₁ :

En remplaçant les valeurs numériques données, on obtient : v = √(2 x (1,4 x 10² x 8,0 x 10² - 9,8 x 1,0) / 4,4 x 10³) v = √(2 x (1,12 x 10⁵ - 9,8) / 4,4 x 10³) v = √(2 x 1,12 x 10⁵ / 4,4 x 10³) v = √(5,09 x 10¹) v = 5,6 m/s

Donc, la valeur maximale de la vitesse initiale v₁ ne doit pas dépasser 5,6 m/s.

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