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Explications étape par étape:
, je vais vous expliquer en détail les étapes de résolution de ce problème de biologie.
Montrer que P est solution d’une équation différentielle de la forme y’ = ay + b
Nous avons l’équation différentielle initiale : N’(t) = 0,07N(t)*(1 - 10^(-3)N(t))
Nous posons P(t) = N(t)/N0, où N0 est la population initiale de bactéries. Donc, P’(t) = N’(t)/N0
En remplaçant N’(t) par son expression, on obtient : P’(t) = (0,07N(t)*(1 - 10^(-3)N(t)))/N0 P’(t) = 0,07(1 - 10^(-3)N(t))*P(t)
Cette équation différentielle sur P(t) est de la forme y’ = ay + b, avec a = 0,07 et b = -0,07*10^(-3)N0.
En déduire l’expression de P, puis celle de N
L’équation différentielle sur P(t) est : P’(t) = 0,07(1 - 10^(-3)N0*P(t))*P(t)
La solution de cette équation différentielle linéaire du premier ordre est : P(t) = 1/(1 + 9*e^(-0,07t))
Donc, en remplaçant P(t) par son expression, on obtient : N(t) = N0P(t) = N0/(1 + 9e^(-0,07t))
Quelle est le nombre de bactéries au bout de 50 heures ?
Avec N0 = 100 et t = 50 heures, on a : N(50) = 100/(1 + 9e^(-0,0750)) = 909 bactéries.
Au bout de combien de temps le nombre de bactéries sera-t-il égal à 90% de la capacité maximale du milieu ?
La capacité maximale du milieu est de 1000 bactéries. 90% de cette capacité est donc 900 bactéries. Pour trouver le temps t tel que N(t) = 900, on résout l’équation : 900 = 1000/(1 + 9*e^(-0,07t)) Soit t = 71,43 heures.
Déterminer la limite de la fonction N en +∞
Lim N(t) = Lim N0/(1 + 9e^(-0,07t)) = N0/(1 + 90) = 100. t→+∞ t→+∞
Donc la limite de N(t) en +∞ est 1000 bactéries, qui correspond à la capacité maximale du milieu.
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