1. Pour la première étape, on divise le segment initial en trois parties égales. La longueur de chaque segment est donc de 1/3. En remplaçant le segment du milieu par deux segments formant un triangle équilatéral, on ajoute un segment de longueur 1/3. Donc, la longueur totale de la ligne brisée L₁ est de f₁ = 2 * (1/3) + 1/3 = 2/3 + 1/3 = 1.
2. Pour la deuxième étape, on répète le même processus sur chaque segment de la ligne brisée L₁. Comme il y a quatre segments de longueur 1/3 chacun, la longueur totale de la ligne brisée L₂ est de f₂ = 4 * (1/3) + 1/3 = 4/3 + 1/3 = 5/3.
3.
a. La relation de récurrence entre la longueur fn+1 de la ligne brisée Ln+1 et la longueur fn de la ligne brisée Ln est la suivante : fn+1 = 4/3 * fn.
b. La suite (fn) est une suite géométrique de raison 4/3.
c. Voici un tableau de valeurs de fn :
n | fn
--|----
0 | 1
1 | 5/3
2 | 20/9
3 | 80/27
4 | 320/81
À partir de ce tableau, on peut conjecturer que la limite de fn lorsque n tend vers l'infini est infinie.
