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résolu

53 A la fin du mois de janvier 2022, la probabilité
qu'un Français choisi au hasard dans la population
soit porteur de la COVID-19 est montée à 0,038.
Le protocole propose alors de se faire tester par un
test antigénique, et, s'il est positif, de confirmer par
un test PCR. Si ce test revient positif, la personne est
déclarée malade.
On suppose que:
pour le test antigénique, si la personne est
porteuse du virus, son test sera positif avec une
probabilité égale à 0,85. Sinon, il est positif avec
une probabilité égale à 0,01;
pour le test PCR, si la personne est porteuse du
virus, son test sera positif avec une probabilité
égale à 0,92. Sinon, il est positif avec une
probabilité égale à 0,01;
⚫les résultats des deux tests sont indépendants.
1. Une personne est porteuse de la COVID-19. Quelle
est la probabilité qu'elle soit déclarée malade?
Ce résultat semble-t-il satisfaisant?
2. Mêmes questions avec une personne saine.
3. Quelle est la probabilité d'être porteur du virus si
on a été déclaré malade ? Si on a été déclaré sain?
4. Que penser finalement de l'efficacité de ce test?

Répondre :

FORTINOMBELINEEN

Si une personne est porteuse de la COVID-19, le protocole suggère de la tester d’abord avec un test antigénique. La probabilité que ce test soit positif, étant donné qu’elle est porteuse du virus, est de 0,85. Ensuite, si le test antigénique est positif, la personne doit confirmer avec un test PCR. La probabilité que le test PCR soit positif, étant donné qu’elle est porteuse du virus, est de 0,92. Pour déterminer la probabilité qu’une personne soit déclarée malade, nous devons prendre en compte les deux tests successifs. Ces tests étant indépendants, nous pouvons les multiplier:

P(malade)=P(test antigeˊnique positif)×P(test PCR positif)

P(malade)=0,85×0,92=0,782

Ainsi, la probabilité qu’une personne soit déclarée malade est d’environ 78,2 %.

Est-ce satisfaisant ? Cela dépend du contexte et des seuils de tolérance. Certains pourraient considérer cette probabilité comme acceptable, tandis que d’autres pourraient la trouver insuffisante.

Pour une personne saine, nous pouvons calculer la probabilité qu’elle soit déclarée malade en utilisant les mêmes étapes:

P(sain)=P(test antigeˊnique positif)×P(test PCR positif)

P(sain)=(1−0,01)×(1−0,01)=0,99×0,99=0,9801

La probabilité qu’une personne saine soit déclarée malade est d’environ 98,01 %. Cela semble peu satisfaisant, car il y a un risque élevé de faux positifs.

Pour déterminer la probabilité d’être porteur du virus, étant donné qu’on a été déclaré malade ou sain, nous utilisons le théorème de Bayes:

P(porteur du virus∣malade)=P(malade)P(malade∣porteur du virus)×P(porteur du virus)​

P(porteur du virus∣malade)=0,7820,85×0,038​≈0,041

La probabilité d’être porteur du virus, étant donné qu’on a été déclaré malade, est d’environ 4,1 %.

De même, pour une personne déclarée saine:

P(porteur du virus∣sain)=P(sain)P(sain∣porteur du virus)×P(porteur du virus)​

P(porteur du virus∣sain)=0,9801(1−0,85)×0,038​≈0,001

La probabilité d’être porteur du virus, étant donné qu’on a été déclaré sain, est d’environ 0,1 %.

Enfin, l’efficacité de ce test dépend du contexte et des priorités. Bien qu’il puisse détecter la maladie avec une certaine précision, il présente un risque élevé de faux positifs chez les personnes saines. L’amélioration de la spécificité du test antigénique pourrait rendre le protocole plus efficace.

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