Réponse :
Explications étape par étape :
Correction du Contrôle n° 5A : Théorème de Pythagore et compagnie
Exercice 1 (8,5 points)
1) Calculer et mettre sous forme de fraction simplifiée au maximum
A= ( 3
4
-
11
8
) ÷ (- 5
3
+ 7
4
) (1,5 pts)
A= ( 6
8
-
11
8
)÷(- 20
12 + 21
12 )
A= −5
8
÷ −1
12
A= 5
8
× 12
1
A= 5×3× 4
4× 2
A= 15
2
2) Donner l'écriture scientifique et décimale de B.
B= 5×10−10×3,9×(104
)
2
1,3×10−5
(2 pts)
B= 5×3,9
1,3 × 10−10×108
10−5
B= 5×3× 10−2
10−5
B=15 × 103
B= 15000 écriture décimale
B= 1,5×104
écriture scientifique
3) Calculer les expressions suivantes en détaillant les calculs :
A= -15 – 3,2×(-8) +10,5÷2,5 (1,5 pt)
A = -15 +25,6 +4,2
A= 10,6 + 4,2
A= 14,8
B= 19 – 12×(-4 + 4×2,1) (1,5 pt)
B= 19 – 12×(-4 +8,4)
B= 19 – 12×4,4
B= 19 -52,8
B= -33,8
Calculer C= A+B
2
(1 pt)
C= 14,8+(−33,8)
2
C=
−19
2
Puis C² (1 pt)
C²=(- 19
2
)²
C²= 361
4
Exercice 2 (9 points)
Le quadrilatère ABCD est un rectangle et les points D, E, et C sont alignés.
1) Montrer que AE=2,6 cm. (3 pts)
On sait que ABCD est un rectangle
Or un rectangle est un quadrilatère qui possède 4 angles droits
Donc ADE et BCE sont des triangles rectangles respectivement en D et C.
On sait que le triangle ADE est rectangle en D
Or d'après le théorème de Pythagore
on a : AE²= AD² + DE²
AE² = 2,4² + 1²
AE= 5,76 +1
AE² = 6,76
AE est une longueur donc AE>0
AE = √6,76
AE=2,6 cm
2) Montrer que EC=3,2 cm et calculer CD. (3,5 pts)
On sait que ABCD est un rectangle
Or un rectangle est un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur
donc AD=BC et AB=CD
On sait que EBC est un triangle rectangle en C
or d'après le théorème de Pythagore,
on a : EB² = EC² + CB²
4²= EC² + 2,4²
16 = EC² + 5,76
16-5,76= EC²
EC²= 10,24
EC est une longueur donc EC>0
EC= √10,24
EC= 3,2 cm
E ∈ [CD] donc CD= EC+ED=4,2 cm
3) Le triangle AEB est-il rectangle ? Justifier. (1,5 pts)
On sait que dans le triangle AEB , [AB] est le plus grand côté
AB²= CD²= 4,2²=17,64
AE²+ EB² = 2,6² +4² = 6,76 + 16=22,76
On remarque que AB² ≠ AE² + EB²
Donc d'après la conséquence du théorème de Pythagore
le triangle AEB n'est pas rectangle.
4) Calculer l'aire du triangle AEB. (1,5 pts)
A= base×hauteur
2
Ici la hauteur est égale à la longueur du segment [BC] et la base est [AB]
Donc A= 2,4×4,2
2
A= 5,04 cm²
Exercice 3 (2,5 points)
Sur un mur vertical, Jaden a installé une étagère pour y poser un pot de fleurs.
Les mesures qu'elle a utilisées sont les suivantes :
AT= 42 m, AE= 58 cm et TE= 40 cm.
L'étagère de Jaden est-elle horizontale ? Justifier votre réponse.
On sait que dans le triangle ATE, {AE] est le plus grand côté
AE²= 58² =3364
AT ²+ TE² = 42² + 40² = 1764 + 1600 = 3364
On remarque que AE² = AT² + ET²
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore
le triangle ATE est rectangle en T
L'étagère de Jaden est donc bien horizontale