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résolu

bonjour je n'arrive pas a résoudre cet exercice quelqu'un pourrait t'il m'aider svp ?

Le gérant d'une entreprise, soucieux d'améliorer sa gestion de stock, interroge tous ses services en fin d'année pour faire le bilan. De nombreuses personnes sont en vacances à cette période de l'année, et la probabilité qu'il reçoive une réponse dans la demi-journée qui suit n'est que de 12%. Parmi le grand nombre de réponses reçues, on en prend trois au hasard de sorte que l'on peut considérer qu'il s'agit d'épreuves identiques et indépendantes. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses qui ont lieu dans la demi-journée parmi les trois réponses choisies. Répondre aux questions en donnant les valeurs exactes.

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer P[{X=0)). Interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.

3. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de X. Garder les valeurs exactes.

4. Quelle est la probabilité que le nombre de réponses reçues dans la demi-journée soit inférieur à 2?

5. Déterminer la probabilité que plus d'une réponse soit arrivée dans la demi-journée.

6. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X. Interpréter cette valeur.​

Répondre :

PAULO92EN

Bien sûr, je serais ravi de vous aider à résoudre cet exercice. Commençons par répondre à chaque question :

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré :

```

              0.12              0.88

           /        \

     R       (0.12)        NR     (0.88)

    / \                         /    \

   R   (0.12)               NR   (0.88)

  / \                           /    \

 R  (0.12)                  NR   (0.88)

```

Où R représente une réponse reçue dans la demi-journée et NR représente l'absence de réponse dans la demi-journée. Les valeurs entre parenthèses sont les probabilités associées.

2. Calculer P(X=0). Interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice :

La probabilité que le nombre de réponses reçues dans la demi-journée soit égal à 0 est égale à la probabilité que les trois réponses n'arrivent pas dans la demi-journée, donc :

P(X=0) = (0.88)^3 = 0.681472.

Cela signifie qu'il y a environ 68,15% de chances qu'aucune réponse ne soit reçue dans la demi-journée.

3. Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilité de X. Garder les valeurs exactes :

```

X    |  0   |  1   |  2   |  3   |

-----------------------------------

P(X) | 0.681472 | 0.297984 | 0.020736 | 0.000808 |

```

4. Quelle est la probabilité que le nombre de réponses reçues dans la demi-journée soit inférieur à 2?

Pour trouver cela, nous devons calculer la somme des probabilités pour X=0 et X=1 :

P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 0.681472 + 0.297984 = 0.979456.

Il y a environ 97,95% de chances que le nombre de réponses reçues dans la demi-journée soit inférieur à 2.

5. Déterminer la probabilité que plus d'une réponse soit arrivée dans la demi-journée.

Cela signifie que nous devons trouver P(X>1), ce qui est égal à 1 - P(X<=1). Nous avons déjà calculé P(X<=1) dans la question précédente, donc :

P(X>1) = 1 - P(X<=1) = 1 - 0.979456 = 0.020544.

Il y a environ 2,05% de chances que plus d'une réponse soit arrivée dans la demi-journée.

6. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X. Interpréter cette valeur.

L'espérance, ou la moyenne, de la variable aléatoire X est calculée en multipliant chaque valeur de X par sa probabilité respective, puis en additionnant le tout :

E(X) = (0*0.681472) + (1*0.297984) + (2*0.020736) + (3*0.000808) = 0.417504 + 0.020736 + 0.002424 = 0.440664.

L'espérance de X est environ 0.440664. Cela signifie que, en moyenne, on peut s'attendre à recevoir environ 0.44 réponses dans la demi-journée.

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