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a) Pour ( x \rightarrow +\infty ), on a ( e^{2x} \rightarrow +\infty ). Ainsi, ( e^{2x}(2-e^{2x}) ) tend vers ( +\infty ) car le terme ( 2-e^{2x} ) est toujours négatif. De plus, ( x ) tend vers ( +\infty ), donc ( -x ) tend vers ( -\infty ). Donc, ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) tend vers ( +\infty ).b) Pour ( x \rightarrow -\infty ), on a ( e^{2x} \rightarrow 0 ). Ainsi, ( e^{2x}(2-e^{2x}) ) tend vers ( 0 ) car le terme ( 2-e^{2x} ) est toujours positif. De plus, ( x ) tend vers ( -\infty ), donc ( -x ) tend vers ( +\infty ). Donc, ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) tend vers ( -\infty ).a) On calcule la limite de ( f(x) ) lorsque ( x ) tend vers ( -\infty ): [ \lim_{x \to -\infty} e^{2x}(2-e^{2x}) - x = \lim_{x \to -\infty} e^{2x} \cdot \lim_{x \to -\infty} (2-e^{2x}) - \lim_{x \to -\infty} x = 0 \cdot (2 - 0) - (-\infty) = +\infty ] On observe que ( f(x) ) tend vers ( +\infty ) lorsque ( x ) tend vers ( -\infty ), ce qui signifie que la droite ( y = -x ) est une asymptote à la courbe ( (C) ) au voisinage de ( -\infty ).b) Pour résoudre l'équation ( 2 - e^{2x} = 0 ), on trouve: [ 2 - e^{2x} = 0 ] [ e^{2x} = 2 ] [ 2x = \ln(2) ] [ x = \frac{\ln(2)}{2} ] Sur l'intervalle ( (-\infty, \frac{\ln(2)}{2}] ), ( e^{2x} ) est décroissante, donc ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) est au-dessus de ( y = -x ). Sur l'intervalle ( [\frac{\ln(2)}{2}, +\infty) ), ( e^{2x} ) est croissante, donc ( f(x) = e^{2x}(2-e^{2x}) - x ) est en dessous de ( y = -x ).Pour ( x \rightarrow +\infty ), ( f(x) ) tend vers ( +\infty ) et ( x ) tend vers ( +\infty ), donc ( \frac{f(x)}{x} ) tend vers ( +\infty ). Géométriquement, cela signifie que la courbe ( (C) ) s'approche de l'axe des ( x ) de manière asymptotique lorsque ( x ) tend vers ( +\infty ).[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(e^{2x}(2-e^{2x}) - x\right) ] [ = e^{2x} \cdot 2 \cdot 2e^{2x} - e^{2x} \cdot 2e^{2x} - 1 ] [ = 4e^{4x} - 2e^{4x} - 1 ] [ = 2e^{4x} - 1 ] [ = -(2e^{2x} - 1)^2 ]Pour montrer que ( A ) est un point d'inflexion de ( (C) ), il faut vérifier que la courbe change de concavité en ce point. Pour cela, on étudie le signe de la dérivée seconde ( f''(x) ) autour de ( x = -\frac{\ln(2)}{2} ). [ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\left(-(2e^{2x} - 1)^2\right) ] [ = -2 \cdot 2e^{2x}(2e^{2x} - 1) \cdot 2e^{2x} ] [ = -8e^{6x}(2e^{2x} - 1) ] [ = -8e^{8x} + 8e^{6x} ] Pour ( x = -\frac{\ln(2)}{2} ), ( e^{2x} = 2 ), donc ( e^{6x} = 8 ), et ( e^{8x} = 64 ). Donc, ( f''\left(-\frac{\ln(2)}{2}\right) =
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