Pour déterminer si la suite est arithmétique, nous devons vérifier si la différence entre chaque terme est constante. Dans ce cas, la production initiale est de 25 000 plats, et chaque mois la production augmente de 650 plats. Puisque cette augmentation est constante, la suite est arithmétique.L'expression de ( U_n ) en fonction de ( n ) dans une suite arithmétique est donnée par :[ U_n = U_1 + (n - 1) \times d ]Où ( U_1 ) est le premier terme de la suite, ( n ) est le numéro du terme, et ( d ) est la différence entre les termes successifs.Dans notre cas :( U_1 = 25,000 ) (la production initiale)( d = 650 ) (augmentation mensuelle)Donc, l'expression de ( U_n ) est :[ U_n = 25,000 + (n - 1) \times 650 ]Pour calculer la production au bout de 5 mois, nous utilisons l'expression que nous avons trouvée :[ U_5 = 25,000 + (5 - 1) \times 650 ] [ U_5 = 25,000 + 4 \times 650 ] [ U_5 = 25,000 + 2,600 ] [ U_5 = 27,600 ]Donc, la production au bout de 5 mois est de 27,600 plats.Pour déterminer si la production totale des 5 premiers mois dépasse les 150,000 plats, nous devons calculer la somme des 5 premiers termes de la suite.La formule pour la somme des ( n ) premiers termes d'une suite arithmétique est :[ S_n = \frac{n}{2} \times (U_1 + U_n) ]Dans notre cas, ( n = 5 ), ( U_1 = 25,000 ), et nous avons déjà trouvé ( U_5 = 27,600 ).[ S_5 = \frac{5}{2} \times (25,000 + 27,600) ] [ S_5 = \frac{5}{2} \times 52,600 ] [ S_5 = \frac{5}{2} \times 52,600 ] [ S_5 = \frac{5}{2} \times 52,600 ] [ S_5 = \frac{5}{2} \times 52,600 ] [ S_5 = \frac{5}{2} \times 52,600 ] [ S_5 = 130,000 ]La production totale des 5 premiers mois est de 130,000 plats, ce qui est inférieur à 150,000 plats.
