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résolu

POUR DEMAINNNN !!!! EXERCICE 1 : La piscine de Louis
Louis a décidé de construire une piscine rectangulaire (MNPQ sur la figure ci-dessous) sur sa propriété en s’imposant les contraintes suivantes :
sa piscine devra être entourée d’une zone recouverte de dalles sur une largeur de 2 m ; la surface totale (piscine et dalles), représentée par ABCD ci-dessous, devra être un rectangle d’aire égale à 300 m2.
On pose AD = x.
1. Justifier que AB = 300. On appelle cela « exprimer AB en fonction de x ». x
2. Justifier que les valeurs de x sont obligatoirement comprises entre 4 et 75 m.
3. a) Exprimer QM et MN en fonction de x.
b) Montrer que l’aire A(x) de la piscine MNPQ est donnée par A(x) = 316 – 4x – 1200 x
4. a) A l’aide de la calculatrice en mode Fonctions, déterminer une approximation de la valeur x0 pour laquelle l’aire de la piscine est maximale.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction A.
5. Un ami de Louis lui assure que sa piscine aura une aire maximale si elle est de forme
carrée. En admettant cette affirmation, calculer la valeur exacte de x0 et en déduire que
l’aire maximale de la piscine est égale à 316 – 80 3. Détailler tous les calculs.
EXERCICE 2 :
Dans un repère orthonormé (O ; i , j ) on considère les points : A(– 1 ; 2), B(0 ; – 2) et C(3 ; 3).
Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
1. Calculer les coordonnées du milieu I de [BC].
2. a) Calculer les coordonnées du symétrique A’ du point A par rapport à I.
b) Préciser la nature du quadrilatère ABA’C. Justifier la réponse.
c) Justifier que le cercle C circonscrit au triangle ABC a pour centre le point I.
3. Démontrer que la droite passant par B et T(– 5 ; 1) est tangente au cercle C.

POUR DEMAINNNN EXERCICE 1 La Piscine De Louis Louis A Décidé De Construire Une Piscine Rectangulaire MNPQ Sur La Figure Cidessous Sur Sa Propriété En Simposant class=

Répondre :

Réponse :

Explications étape par étape :

Question 1

Pour justifier que AB = 300, exprimons l'aire du rectangle ABCD en fonction de x.

On sait que la largeur du rectangle ABCD est de 2 mètres (MN = 2). Puisque la longueur AD est égale à x, alors la longueur BC sera également égale à x (car ABCD est un rectangle).

L'aire du rectangle ABCD se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur : aire = longueur x largeur.

Dans ce cas, aire = AB x BC = AB x x = x^2.

On sait que l'aire totale du rectangle ABCD est égale à 300 m², donc x^2 = 300.

En résolvant cette équation, on trouve x = √300 = 10√3.

Maintenant, pour exprimer AB en fonction de x, on remplace x par 10√3 dans l'expression de l'aire : AB = x = 10√3.

Ainsi, on a justifié que AB = 10√3 = 300.

Question 2

Pour justifier que les valeurs de x doivent obligatoirement être comprises entre 4 et 75 mètres, nous pouvons utiliser les calculs suivants :

Comme on l'a précédemment établi, x représente AD et AD + 2 (la largeur des dalles) est égale à la longueur du rectangle ABCD. Puisque l'aire totale du rectangle ABCD est de 300 m², cela signifie que la longueur fois la largeur doit être de 300 m².

On a trouvé que x^2 = 300, ce qui donne x = √300 ≈ 17,32 mètres.

Pour déterminer pourquoi x doit être compris entre 4 et 75 mètres, considérons les bornes suivantes :

- Si x était inférieur à 4 mètres, alors la longueur AD serait trop petite pour respecter les contraintes de la zone dalles de 2 mètres de large, et une longueur inférieure à 4 m n'offrirait pas suffisamment d'espace pour une piscine rectangulaire.

- Si x dépassait 75 mètres, alors la taille de la piscine serait démesurée par rapport à la largeur des dalles, et cela pourrait ne pas correspondre aux normes ou aux préférences de Louis.

Ainsi, les valeurs de x doivent être comprises entre 4 et 75 mètres pour respecter les contraintes de construction définies par Louis.

Question 3

a) Pour exprimer QM et MN en fonction de x dans le contexte donné, nous utilisons les propriétés d'un rectangle :

- Dans un rectangle, les côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, MQ = NP = x.

- Les côtés adjacents dans un rectangle sont également de même longueur. Par conséquent, MN = PQ = 2.

Donc, en fonction de x, nous pouvons dire que :

- QM = MQ = x

- MN = PQ = 2

Ainsi, QM = x et MN = 2 en fonction de x.

b) jspppppp

Question 4

a) Voici la méthode j'ai plus de calculette

1. Entrer la fonction \( A(x) = 316 - 4x - 1200x \) dans la calculatrice.

2. Calculer la dérivée de \( A(x) \) par rapport à \( x \), notée \( A'(x) \).

3. Chercher les zéros de la dérivée \( A'(x) \) en utilisant les calculatrices modernes qui peuvent trouver ces points critiques.

4. Vérifier si les points trouvés sont des maxima ou minima en utilisant le test de la dérivée seconde ou par observation des valeurs de la dérivée première autour de ces points.

b) jsp

Question 5

Jsp

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