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résolu

Soit n un nombre entier naturel, n ≥ 2.
On pose: S = 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3+... + 1/2^n.

1-Calculer S - 1/2 S.
2-En déduire la valeur de S en fonction de n
3-calculer S pour n=3 ; n=4

Répondre :

ISMAILMECHQUI119EN

Réponse:

1. Calculer S - 1/2 S :

S = 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n

1/2 S = 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n

Donc, S - 1/2 S = (1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n) - (1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ... + 1/2^n)

= 1 - 1/2 = 1/2

2. En déduire la valeur de S en fonction de n :

Nous avons montré que S - 1/2 S = 1/2

Réarrangeons cette équation :

S - S/2 = 1/2

S/2 = 1/2

S = 1

Donc, la valeur de S en fonction de n est S = 1.

3. Calculer S pour n=3 et n=4 :

Pour n=3 :

S = 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8

S = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 1.875

Pour n=4 :

S = 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16

S = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 1.9375

Donc, pour n=3, S = 1.875 et pour n=4, S = 1.9375.

En résumé, nous avons d'abord montré que S - 1/2 S = 1/2, ce qui nous a permis de déduire que S = 1. Ensuite, nous avons calculé les valeurs de S pour n=3 et n=4.

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