Réponse:
1. Le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par la formule V = longueur × largeur × hauteur.
2. Pour le placard, le volume V(x) est donné par V(x) = x × (12 - x) × (12 - x).
3. Pour déterminer la fonction dérivée V'(x), nous utilisons la règle du produit et la règle de la chaîne pour obtenir :
V'(x) = (12 - x)^2 - x × 2(12 - x) = 144 - 24x + x^2 - 24x + 2x^2 = 3x^2 - 48x + 144.
4. Nous vérifions que 4 et 12 sont bien racines du polynôme 3x² - 48x + 144 en substituant ces valeurs :
Pour x = 4 : 3(4)^2 - 48(4) + 144 = 48 - 192 + 144 = 0.
Pour x = 12 : 3(12)^2 - 48(12) + 144 = 432 - 576 + 144 = 0.
5. Pour obtenir la forme factorisée de V'(x), nous divisons le polynôme par 3 pour simplifier :
V'(x) = 3x^2 - 48x + 144 = 3(x^2 - 16x + 48) = 3(x - 4)(x - 12).
Le tableau de signe est + pour x < 4, - entre 4 et 12, et + pour x > 12.
6. En utilisant les informations sur le signe de la dérivée, nous pouvons déterminer le tableau de variation de V.
- V(x) est croissante pour x < 4,
- V(x) est décroissante pour 4 < x < 12,
- V(x) est croissante pour x > 12.
7. Pour obtenir un volume maximal, nous cherchons la valeur de x pour laquelle V(x) atteint son maximum. En lisant le tableau de variation, nous voyons que V(x) atteint son maximum lorsque x = 4 ou x = 12. Donc, les dimensions du placard doivent être 4 dm × 8 dm × 8 dm ou 12 dm × 0 dm × 0 dm pour obtenir un volume maximal.
