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Réponse :
Pour calculer le nombre de jours nécessaires pour que la masse d'une substance radioactive tombe en dessous de 0,0001, en considérant une diminution de 8 % par jour et une masse initiale de 0,01, vous pouvez suivre ces étapes :
1. **Déterminer le Taux de Diminution Quotidien** :
- La masse diminue de 8 % par jour, ce qui signifie que la masse restante chaque jour est de 92 % de la masse du jour précédent.
2. **Établir l'Équation** :
- Soit $ M $ la masse au début de chaque jour, et $ N $ le nombre de jours.
- L'équation représentant la masse à la fin de chaque jour est : $ M \times (0,92)^N = 0,0001 $.
3. **Substituer les Valeurs Initiales** :
- Remplacez la masse initiale de 0,01 dans l'équation : $ 0,01 \times (0,92)^N = 0,0001 $.
4. **Résoudre pour le Nombre de Jours** :
- Réarrangez l'équation pour résoudre $ N $ : $ (0,92)^N = \frac{0,0001}{0,01} $.
- Prenez le logarithme des deux côtés pour résoudre $ N $ : $ N = \frac{\log(0,0001/0,01)}{\log(0,92)} $.
5. **Calculer le Nombre de Jours** :
- Remplacez les valeurs dans l'équation et calculez le nombre de jours.
Ainsi, en suivant ces étapes et en substituant les valeurs, vous pouvez déterminer le nombre de jours nécessaires pour que la masse de la substance radioactive tombe en dessous de 0,0001.
Explications étape par étape :
L'évolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs
Un échantillon de matière radioactive voit sa population de noyaux radioactifs diminuer au cours du temps, du fait de la désintégration radioactive.
On ne peut pas prédire quand un noyau va se désintégrer, car la radioactivité est un phénomène aléatoire, mais on peut calculer l’évolution temporelle d’un très grand nombre de noyaux radioactifs N(t) encore présents à un instant t.
a. Équation vérifiée par N(t)
L’équation
Le nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon diminue au cours du temps du fait de la désintégration radioactive. Pendant une durée Δt, la variation du nombre de noyaux ΔN(t) est à la fois proportionnelle à la durée et au nombre de noyaux encore présents N(t).
∆N(t) = –λ × N(t) × ∆t
avec :
∆N(t) la variation du nombre de noyaux radioactifs à un instant t : ∆N(t) = N(t) – N0
λ la constante radioactive, en s–1
N(t) le nombre de noyaux encore présents à un instant t
t est la durée, en s
La constante radioactive λ est caractéristique du noyau radioactif et représente la probabilité de désintégration par unité de temps, d'un noyau radioactif.
ΔN(t) est négatif car la population de noyaux diminue.
Pour résoudre l'exercice consistant à trouver le nombre de jours nécessaires pour que la masse d'une substance radioactive tombe en dessous de 0,0001, sachant que la masse initiale est de 0,01 et que le taux de décroissance par jour est de 8 %, nous pouvons utiliser l'équation de décroissance radioactive :
N(t) = N₀ \* e^(-λt)
où :
* N(t) est la quantité restante de la substance à l'instant t
* N₀ est la quantité initiale de la substance
* e est la base du logarithme népérien (environ 2,71828)
* λ est la constante radioactive (liée au taux de décroissance)
* t est la période de temps (en jours)
Tout d'abord, nous devons trouver la constante radioactive λ. Le taux de décroissance par jour est donné à 8 %, donc :
λ = ln(1 - taux\_de\_décroissance)
λ = ln(1 - 0,08)
λ ≈ 0,0769461
Maintenant, nous pouvons réorganiser l'équation pour résoudre t :
t = -ln(N / N₀) / λ
En utilisant les valeurs données :
t = -ln(0,0001 / 0,01) / 0,0769461
t ≈ 42,185
Il faudrait donc environ 42,19 jours pour que la masse de la substance radioactive tombe en dessous de 0,0001.
Par conséquent, en utilisant l'équation de décroissance radioactive et les informations données, nous pouvons calculer qu'il faudrait environ 43 jours (arrondi au nombre entier le plus proche) pour que la masse de la substance radioactive tombe en dessous de 0,0001.
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