Réponse :Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe \( C_f \) au point d'abscisse \( x = -\frac{1}{2} \), nous devons suivre quelques étapes :
1. Calculer la dérivée de la fonction \( f(x) \), qui nous donnera le coefficient directeur de la tangente à \( C_f \) à n'importe quel point.
2. Évaluer la dérivée en \( x = -\frac{1}{2} \) pour trouver le coefficient directeur de la tangente à ce point.
3. Utiliser le point \( \left(-\frac{1}{2}, f\left(-\frac{1}{2}\right)\right) \) sur la courbe pour obtenir l'équation de la tangente en utilisant la forme point-pente de l'équation d'une droite.
Commençons par calculer la dérivée de \( f(x) \) :
\[ f(x) = -\frac{16}{4x^2} + 7 \]
Pour trouver la dérivée, nous utilisons la règle de la dérivée de la somme et la dérivée de \( \frac{1}{x^2} \) est \( -\frac{2}{x^3} \). Donc :
\[ f'(x) = -\frac{d}{dx} \left( \frac{16}{4x^2} \right) = \frac{32}{x^3} \]
Ensuite, nous évaluons la dérivée en \( x = -\frac{1}{2} \) :
\[ f'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{32}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{32}{-\frac{1}{8}} = -256 \]
Maintenant, nous avons le coefficient directeur de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = -\frac{1}{2} \). Le point est \( \left(-\frac{1}{2}, f\left(-\frac{1}{2}\right)\right) \). Calculons \( f\left(-\frac{1}{2}\right) \) :
\[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{16}{4\left(-\frac{1}{2}\right)^2} + 7 = -\frac{16}{4\left(\frac{1}{4}\right)} + 7 = -16 + 7 = -9 \]
Maintenant, nous avons le point \( \left(-\frac{1}{2}, -9\right) \) et le coefficient directeur \( m = -256 \). Nous pouvons utiliser la forme point-pente de l'équation de la droite pour trouver l'équation de la tangente :
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
\[ y - (-9) = -256(x - (-\frac{1}{2})) \]
\[ y + 9 = -256(x + \frac{1}{2}) \]
\[ y + 9 = -256x - 128 \]
\[ y = -256x - 137 \]
Donc, l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = -\frac{1}{2} \) est \( y = -256x - 137 \).
Explications étape par étape :
