Réponse:
1. Pour trouver la valeur de \( u_3 \), on observe que chaque étape ajoute 6 carreaux de plus que la précédente. Donc, \( u_3 = u_2 + 6 = 12 + 6 = 18 \).
2. Si la suite \( (u_n) \) est arithmétique de raison 6, alors \( u_n = u_1 + (n-1) \times 6 \).
3. Pour l'étape 5, \( u_5 = u_1 + (5-1) \times 6 = 6 + 4 \times 6 = 30 \). Ainsi, l'artisan a ajouté 30 carreaux pour faire l'étape 5. Le nombre total de carreaux posés à la fin de cette étape est \( 1 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = 1 + 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 91 \) carreaux.
4. Pour montrer que \( S_n = 3n^2 + 3n \), on peut remarquer que \( u_n = 6n \) (car \( u_1 = 6 \) et la raison de la suite est 6). Donc, \( S_n = 6(1 + 2 + ... + n) = 6 \times \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2 + 3n \).
5. Si l'artisan termine la pose du 2977ème carreau à la fin de sa semaine, cela signifie que \( 3n^2 + 3n + 1 = 2977 \). En résolvant cette équation quadratique, nous pouvons trouver la valeur de \( n \).
