1. Écrire l'expression sous forme d'un quotient de deux produits :
(x + 2) / (2x + 5) - (2x + 5) / (x + 2)
= [(x + 2)(x + 2) - (2x + 5)(2x + 5)] / [(2x + 5)(x + 2)]
= [x^2 + 4x + 4 - (4x^2 + 20x + 25)] / [(2x + 5)(x + 2)]
= (-3x^2 - 16x - 21) / [(2x + 5)(x + 2)]
= (-3)(x + 3)(x + 7) / [(2x + 5)(x + 2)]
= (-x - 3)(3x + 7) / [(2x + 5)(x + 2)]
2. Justification de l'équivalence des inéquations :
Si on part de (x + 2) / (2x + 5) > (2x + 5) / (x + 2), on peut soustraire (2x + 5) / (x + 2) des deux côtés :
(x + 2) / (2x + 5) - (2x + 5) / (x + 2) > 0
Or on a montré en 1) que cela équivaut à :
(-x - 3)(3x + 7) / ((2x + 5)(x + 2)) > 0
Donc les deux inéquations sont bien équivalentes.
3. Résolution de l'inéquation (-x - 3)(3x + 7) / ((2x + 5)(x + 2)) > 0 :
Le dénominateur (2x + 5)(x + 2) est toujours positif car 2x+5 et x+2 sont toujours de même signe (leur produit est un trinôme toujours positif).
Donc le signe de la fraction est celui du numérateur.
(-x - 3)(3x + 7) > 0
⇔ -x - 3 < 0 et 3x + 7 < 0 ou -x - 3 > 0 et 3x + 7 > 0
⇔ -7/3 < x < -3 ou x < -7/3 et x > -3
⇔ x ∈ ]-7/3 ; -3[ (car x ne peut pas être à la fois plus grand que -3 et plus petit que -7/3)
En conclusion, l'ensemble des solutions de l'inéquation (x + 2) / (2x + 5) > (2x + 5) / (x + 2) est S = ]-7/3 ; -3[.
