Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour, piou long à écrire pas à faire. :)
1a) Tu pars du point (1,-1) et en te déplaçant horizontalement et verticalement tu dois retomber sur la droite en un autre point. (on essaie de trouver des points à coordonnées entières quand c'est possible.)
ici 1 vers la gauche ( signe- du coup) et 2 vers le haut donc signe +.
Donc f'(1) = 2/-1=-2 ( logique que ça soit inférieur à 0 la droite est décroissante)
b) f1) = 1
c) Equation de T. c'est de la forme y = ax+b
Elle a pour coefficient directeur le nombre dérivé en 1 soit -2.
Donc a=-2
Elle passe en (0,1) donc pour x=0 y=b=1
Conclusion : T a pour équation : y=-2x+1.
2a) f'(x) = 2*1/x - a/x² = (2x-a)/x².
2b) On sait que pour x= 1 f' (1) = -2( cf 1a)
Donc en remplaçant x par 1 dans f'(x) on a 2-a=-2 donc a= 4
Calcul de b :
on a f(1) = -1 0 ( cf lecture graphique)
donc f(1) = 2ln(1)+4/1 + b= -1 soit 0+4+b=-1 d'où b= -5
On on retrouve bien ces valeurs de a et b dans la partie b. Donc tout est OK !
Partie B
Au 2a) on a trouvé que f'(x) = (2x-a)/x². Et comme a =4, on a bien :
f'(x) = (2x-4)/x².
1b) signe de f(x)
f'(x) = 2(x-2)/x² est du signe de x-2 puisque x²>0 sur ]0,+∞[
f'(x) >=0 si x>=2 donc sur [2,+∞[ ( croissante sur cet intervalle)
f'(x) <=0 si <=2 donc sur [2,-∞[ ( décroissante sur cet intervalle)
f'(x) =0 si =2.
2a) Tableau de variations.
Une partie au-dessus et reste les limites à calculer en 0 et +∞.
En +∞ : lnx →+∞ et 4/x →+∞ donc f(x)→+∞ quand x→+∞
En 0 : f(x) = (2xlnx +4)/x -5
et lim (xlnx )quand x→0 =0 donc lim(2xlnx +4 )→ 4 quand x→0 et 4/x →+∞ quand x→0+.
f(x)→+∞ quand x→0+.
